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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20678 5c7742bd210b28428f14ce77 高中 解答题 自招竞赛 设 $MN=1$ 是圆的直径，$A$，$B$ 是此圆半圆弧上的两点且 $A$ 是该半圆弧的中点，$MB=\frac{3}{5}$．点 $C$ 位于另一半圆弧上．设直径 $MN$ 与弦 $AC$，$BC$ 的交点间的线段长为 $d$．若 $d$ 这的最大值可以写为 $r-s\sqrt{t}$ 的形式，其中 $r s t$ 是正整数且 $t$ 不被任何素数的平女整除，求 $r+s+t$． 2022-04-17 20:00:02
20677 5c774c5f210b28428f14ce89 高中 解答题 自招竞赛 Maya列出 ${{2010}^{2}}$ 的所有正约数，然后她从中随机选取两个不同的约数。设她选的两个约数中恰好有一个是完全平方数的概率为 $p$，且 $p$ 可以表示成 $\frac{m}{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是互素的正整数。求 $m+n$ 的值。 2022-04-17 20:59:01
20676 5c774c6c210b28428f14ce8f 高中 解答题 自招竞赛 求 $9\times 99\times 999\times \ldots \times \underbrace{99\ldots 9}_{9999}$ 除以1000所得的余数。 2022-04-17 20:59:01
20675 5c774c80210b28428f14ce9a 高中 解答题 自招竞赛 Jackie和Phil有两枚匀称的硬币和一枚不匀称的硬币，这枚不匀称的硬币抛出后正面出现的概率为 $\frac{4}{7}$ 。Jackie投掷这三枚硬币，然后Phil也投掷这三枚硬币。假设Jackie和Phil得到正面的个数相同的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数，求 $m+n$ 的值。 2022-04-17 20:58:01
20674 5c774c8a210b28428f14cea0 高中 解答题 自招竞赛 正整数 $a$，$b$，$c$ 和 $d$ 满足 $abcd$，$a+b+c+d=2010$ 和 ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{d}^{2}}=2010$ 。求 $a$ 的所有可能值的个数。 2022-04-17 20:58:01
20673 5c774c93210b28428f14cea5 高中 解答题 自招竞赛 实系数二次多项式 $P\left( x \right)$ 满足对所有的实数 $x$，都有
${{x}^{2}}-2x+2\leqslant P\left( x \right)\leqslant 2{{x}^{2}}-4x+3$
已知 $P\left( 11 \right)=181$ 。求 $P\left( 16 \right)$ 的值。		 2022-04-17 20:58:01
20672 5c774c9c210b28428f14ceaa 高中 解答题 自招竞赛 如果集合 $A$，$B$ 和 $C$ 满足 $\left| A\bigcap B \right|=\left| B\bigcap C \right|=\left| C\bigcap A \right|=1$ 且 $A\bigcap B\bigcap C=\varnothing $，则我们称有序三元组 $\left( A B C \right)$ 为最小相交。例如，$\left( \left| 1 ,2 \right| \left| 2 ,3 \right| \left| 1, 3, 4 \right| \right)$ 是一个最小相交的三元组。在由集合 $\left\{ 1, 2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 \right\}$ 的子集构成的所有有序三元组中，令 $N$ 为最小相交的有序与三元组的个数。求 $N$ 除以1000的余数（$\left| S \right|$ 表示集合 $S$ 中的元素的个数）。 2022-04-17 20:57:01
20671 5c774ca4210b284290fc25b0 高中 解答题 自招竞赛 对实数 $a$，令 $\left[ a \right]$ 表示小于或等于 $a$ 的最大整数。设 $R$ 为坐标平面内满足 ${{\left[ x \right]}^{2}}+{{\left[ y \right]}^{2}}=25$ 的点 $\left( x ,y \right)$ 所组成的区域。区域 $R$ 被完全包含在一个半径为 $r$ 的圆盘中（圆盘是指圆周与它内部的点的并集）。 $r$ 的最小值可以表示成 $\frac{\sqrt{m}}{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 都是整数且 $m$ 不能被任何素数的平方整除。求 $m+n$ 的值。 2022-04-17 20:56:01
20670 5c774cac210b28428f14ceb1 高中 解答题 自招竞赛 设 $\left( a ,b ,c \right)$ 是方程组 $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}^{3}}-xyz=2 \\
{{y}^{3}}-xyz=6 \\
{{z}^{3}}-xyz=20 \\
\end{array} \right.$ 的一组实数解。 ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}$ 的最大值可以表示为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$、$n$ 是互素的正整数。求 $m+n$ 的值。		 2022-04-17 20:55:01
20669 5c774cb8210b28428f14ceb6 高中 解答题 自招竞赛 设2010可以用 $N$ 种方式表示成如下形式：
$2010={{a}_{3}}\cdot {{10}^{3}}+{{a}_{2}}\cdot {{10}^{2}}+{{a}_{1}}\cdot 10+{{a}_{0}}$
其中 ${{a}_{i}}$ 是整数，且 $0\leqslant {{a}_{i}}\leqslant 99$ 。例如 $1\times {{10}^{3}}+3\times {{10}^{2}}+67\times {{10}^{1}}+40\times {{10}^{0}}$ 是其中的一种表示。求 $N$ 的值。		 2022-04-17 20:55:01
20668 5c774cbf210b28428f14cebb 高中 解答题 自招竞赛 设 $R$ 为坐标平面内同时满足 $\left| 8-x \right|+y\leqslant 10$ 和 $3y-x\geqslant 15$ 的点所组成的区域。 $R$ 绕直线 $3y-x=15$ 旋转一周所得的几何体的体积是 $\frac{m\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{n\sqrt{p}}$，其中 $m$，$n$，$p$ 是正整数，且 $m$ 与 $n$ 互素，$p$ 不能被任何素数的平方整除，求 $m+n+p$ 的值。 2022-04-17 20:54:01
20667 5c774ccd210b284290fc25b8 高中 解答题 自招竞赛 矩形 $ABCD$ 和以 $AB$ 为直径的半圆共面且内部不重叠。设 $R$ 为矩形和半圆所围成的区域，直线 $l$ 分别交半圆，线段 $AB$ 和线段 $CD$ 于不同的点 $N$，$U$ 和 $T$ 。直线 $l$ 将区域 $R$ 分成面积比为 $1:2$ 的两部分。若 $AU=84$，$AN=126$，$UB=168$，则 $DA$ 的长度为 $m\sqrt{n}$，其中 $m$、$n$ 是正整数，且 $n$ 不能被任何素数的平方整除。求 $m+n$ 的值。 2022-04-17 20:54:01
20666 5c774cd5210b284290fc25bd 高中 解答题 自招竞赛 对每个正整数 $n$，设 $\displaystyle f\left( n \right)=\sum\limits_{k=1}^{100}{\left[ {{\log }_{10}}\left( kn \right) \right]}$ 。求 $n$ 的最大值，使得 $f\left( n \right)\leqslant 300$（$\left[ x \right]$ 表示小于或等于 $x$ 的最大整数）。 2022-04-17 20:53:01
20665 5c774cdb210b28428f14cec7 高中 解答题 自招竞赛 在 $\vartriangle ABC$ 中，$AB=12$，$BC=13$，$AC=15$，$M$ 为 $AC$ 边上的一点，使得 $\vartriangle ABM$ 和 $\vartriangle BCM$ 的内切圆的半径相等。设 $\frac{AM}{CM}=\frac{p}{q}$，其中 $p$ 和 $q$ 是互素的正整数。求 $p+q$ 的值。 2022-04-17 20:53:01
20664 5c77696b210b28428f14ced7 高中 解答题 自招竞赛 设整数 $N$ 能被36整除，它各数位上的数字两两不同且都是偶数。求 $N$ 的最大值除以1000所得的余数。 2022-04-17 20:52:01
20663 5c776976210b284290fc25d0 高中 解答题 自招竞赛 在单位正方形 $S$ 内随机选取一点 $P$，令 $d\left( P \right)$ 为点 $P$ 到最近的边的距离。 $\frac{1}{5}\leqslant d\left( P \right)\leqslant \frac{1}{3}$ 的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数，求 $m+n$ 的值。 2022-04-17 20:52:01
20662 5c77697e210b28428f14cedc 高中 解答题 自招竞赛 设 $K$ 为所有的 $\left( b-a \right)$（这些值不一定相异）之积，其中正整数 $a$，$b$ 满足 $1\leqslant ab\leqslant 20$ 。求出最大的正整数 $n$ 使得 ${{2}^{n}}$ 整除 $K$ 。 2022-04-17 20:51:01
20661 5c776989210b284290fc25d7 高中 解答题 自招竞赛 Dave抵达一个机场，该机场有 $12$ 个安检门，它们排成一条直线，相邻的两个安检门的间距都是100英尺。他的安检门是随机指派的。在某个安检门等待一会之后，Dave被告知他的安检门已更换，新的安检门也是随机指派的。设Dave步行到新的安检门的路程小于或等于400英尺的概率是 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数，求 $m+n$ 的值。 2022-04-17 20:51:01
20660 5c776991210b284290fc25dc 高中 解答题 自招竞赛 正整数 $x$，$y$ 和 $z$ 满足 $xyz={{10}^{81}}$，且
$\left( {{\log }_{10}}x \right)\left( {{\log }_{10}}yz \right)+\left( {{\log }_{10}}y \right)\left( {{\log }_{10}}z \right)=468$ 。
求 $\sqrt{{{\left( {{\log }_{10}}x \right)}^{2}}+{{\left( {{\log }_{10}}y \right)}^{2}}+{{\left( {{\log }_{10}}z \right)}^{2}}}$ 的值。		 2022-04-17 20:50:01
20659 5c776996210b28428f14cee2 高中 解答题 自招竞赛 求出具有如下性质的正整数 $n$ 的最小值：多项式 ${{x}^{4}}-nx+63$ 可以分解成两个非常数的整系数多项式之积。 2022-04-17 20:50:01
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