设 $\left( a ,b ,c \right)$ 是方程组 $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}^{3}}-xyz=2 \\
{{y}^{3}}-xyz=6 \\
{{z}^{3}}-xyz=20 \\
\end{array} \right.$ 的一组实数解。 ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}$ 的最大值可以表示为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$、$n$ 是互素的正整数。求 $m+n$ 的值。
{{x}^{3}}-xyz=2 \\
{{y}^{3}}-xyz=6 \\
{{z}^{3}}-xyz=20 \\
\end{array} \right.$ 的一组实数解。 ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}$ 的最大值可以表示为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$、$n$ 是互素的正整数。求 $m+n$ 的值。
【难度】
【出处】
2010年第28届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
158
【解析】
由原方程组得到 ${{x}^{3}}=2+xyz$，${{y}^{3}}=6+xyz$ 和 ${{z}^{3}}=20+xyz$ 。设 $P=xyz$，可得
${{P}^{3}}=\left( 2+P \right)\left( 6+P\right)\left( 20+P \right)={{P}^{3}}+28{{P}^{2}}+172P+240$ 。化简得 $7{{P}^{2}}+43P+60=0$，解得 $P=-\frac{15}{7}$ 或 $P=-4$ 。原来的三个方程相加可得 ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}=28+3P$，当 $P$ 取较大那个值（也就是 $-\frac{15}{7}$）时，这个式子取得最大值。 $P=-\frac{15}{7}$ 对应原方程组的解为 $\left( -\frac{1}{\sqrt[3]{7}} ,\frac{3}{\sqrt[3]{7}} ,\frac{5}{\sqrt[3]{7}} \right)$ 。所以 ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{x}^{3}}$ 最大值为 $28-\frac{45}{7}=\frac{151}{7}$，$m+n=151+7=158$ 。
${{P}^{3}}=\left( 2+P \right)\left( 6+P\right)\left( 20+P \right)={{P}^{3}}+28{{P}^{2}}+172P+240$ 。化简得 $7{{P}^{2}}+43P+60=0$，解得 $P=-\frac{15}{7}$ 或 $P=-4$ 。原来的三个方程相加可得 ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}=28+3P$，当 $P$ 取较大那个值（也就是 $-\frac{15}{7}$）时，这个式子取得最大值。 $P=-\frac{15}{7}$ 对应原方程组的解为 $\left( -\frac{1}{\sqrt[3]{7}} ,\frac{3}{\sqrt[3]{7}} ,\frac{5}{\sqrt[3]{7}} \right)$ 。所以 ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{x}^{3}}$ 最大值为 $28-\frac{45}{7}=\frac{151}{7}$，$m+n=151+7=158$ 。
答案
解析
备注
