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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20698 5c763bfb210b28428f14cdf4 高中 解答题 自招竞赛 如果一个三位数的三个数字各不相同且从左到右是等比数列，就称其为“几何数”．求最大几何数与最小几何数的差． 2022-04-17 20:11:02
20697 5c763c13210b28428f14ce00 高中 解答题 自招竞赛 抛掷一枚硬币，其正面朝上的概率为 $p$，反面朝上的概率为 $1-p$，拋掷硬币8次，每次拋掷互相独立．设出现“3正5反”的概率恰好是出现“5正3反”的概率的 $\frac{1}{25}$，设 $p=\frac{m}{n}$（$m$，$n$ 是互素的正整数），求 $m+n$． 2022-04-17 20:10:02
20696 5c763c1b210b28428f14ce06 高中 解答题 自招竞赛 在平行四边形 $ABCD$ 中，$M$ 是边 $AB$ 上的点，且满足 $\frac{AM}{AB}=\frac{17}{1000}$，$N$ 是 $AD$ 上的点，且满足 $\frac{AN}{AD}=\frac{17}{2009}$．设 $P$ 是 $AC$ 与 $MN$ 的交点，求 $\frac{AC}{AP}$． 2022-04-17 20:09:02
20695 5c763c22210b28428f14ce0b 高中 解答题 自招竞赛 在 $\vartriangle ABC$ 中，$AC=450$，$BC=300$，点 $K$ 是边 $AC$ 的中点，$\angle ACB$ 的平分线交边 $AB$ 于点 $L$．设 $P$ 是 $BK$ 与 $CL$ 的交点，延长 $PK$ 到 $M$，使得 $KM=PK$．若 $AM=180$，求 $LP$ 的长度． 2022-04-17 20:09:02
20694 5c763c28210b28428f14ce10 高中 解答题 自招竞赛 有多少个小于1000的正整数 $N$ 使得方程 ${{x}^{\left[ x \right]}}=N$ 有解（$\left[ x \right]$ 表示小于或等于 $x$ 的最大整数）？ 2022-04-17 20:08:02
20693 5c763c41210b28428f14ce21 高中 解答题 自招竞赛 一项比赛给参赛者提供 $A$，$B$，$C$ 三项奖金，每项奖金的数额是 $1\text{ }\!\!\tilde{ }\!\!\text{ }9999$ 美元之间的整数（包括1美元和9999美元，不同项目的奖金数额可能相等）．参赛者必须依次猜出 $A$，$B$，$C$ 三项奖金的数额才可获奖．作为提示，三项奖金所包含的所有数字会被给出．某一天给出的提示数字是1，1，1，1，3，3，3．请根据提示的数字，求出三项奖金数额的所有可能情形的总数． 2022-04-17 20:07:02
20692 5c763c4c210b284290fc2562 高中 解答题 自招竞赛 每年一届的行星数学邀请赛由5名火星人、5名金星人、5名地球人组成的委员会命题．开会时，委员会成员围着配有15张椅子并顺时针编号 $1\text{ }\!\!\tilde{ }\!\!\text{ }15$ 的圆桌坐下．委员会的规则要求1号椅子必须坐火星人，15号椅子必须坐地球人，且地球人不能坐在火星人的左邻，火星人不能坐在金星人的左邻，金星人不能坐在地球人的左邻．委员会安排座位的所有可能的方法总数是 $N\cdot {{\left( 5! \right)}^{3}}$，求 $N$ 。 2022-04-17 20:06:02
20691 5c763c5b210b28428f14ce28 高中 解答题 自招竞赛 考查由所有的 $\vartriangle OPQ$ 组成的集合，其中 $O$ 是原点，$P$，$Q$ 是面上两互异的点，它们的坐标 $\left( x ,y \right)$ 都满足 $41x+y=2009$ 的非负整数对．求面积为正整数的 $\vartriangle ABI$ 的个数． 2022-04-17 20:06:02
20690 5c763c6b210b28428f14ce2f 高中 解答题 自招竞赛 正整数数列 $\left\{ {{a}_{i}} \right\}$ 定义为 ${{a}_{n+2}}=\frac{{{a}_{n}}+2009}{1+{{a}_{n+1}}}\left( n\geqslant 1 \right)$．求 ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}$ 的最小值． 2022-04-17 20:05:02
20689 5c763c7f210b28428f14ce35 高中 解答题 自招竞赛 在 $\vartriangle ABC$ 中，$AB=10$，$BC=14$，$CA=16$．$D$ 是线段 $BC$ 上一点，${{I}_{B}}$，${{I}_{C}}$ 分别是 $\vartriangle ABD$，$\vartriangle ACD$ 的内心．$\vartriangle B{{I}_{B}}D$，$\vartriangle C{{I}_{C}}D$ 的外接圆交于两不同点 $P$，$Q$．$\vartriangle BPC$ 的面积的最大值可以表示为 $a-b\sqrt{c}$ 的形式，其中 $a b c$ 都是正整数且 $c$ 不能被任何素数的平方整除．求 $a+b+c$． 2022-04-17 20:05:02
20688 5c77424a210b284290fc2580 高中 解答题 自招竞赛 在开始油漆之前，Bill有130盎司蓝漆、164盎司红漆、188盎司白漆，Bill将一面墙漆成四条大小一样的条纹，蓝色、红色、白色以及粉红色各一条，其中粉红色是由白色和红色混合而成，但混合的比例不一定是相等的．当Bill油漆完墙后，他还剩下等量的蓝、红、白漆．求剩余的油漆总量． 2022-04-17 20:05:02
20687 5c774264210b284290fc2586 高中 解答题 自招竞赛 设正实数 $a$，$b$，$c$ 满足 ${{a}^{{{\log }_{3}}7}}=27$，${{b}^{{{\log }_{7}}11}}=49$，${{c}^{{{\log }_{11}}25}}=\sqrt{11}$．求 ${{a}^{{{\left( {{\log }_{3}}7 \right)}^{2}}}}\text{+}{{b}^{{{\left( {{\log }_{7}}11 \right)}^{2}}}}+{{c}^{{{\left( {{\log }_{11}}25 \right)}^{2}}}}$． 2022-04-17 20:04:02
20686 5c77426d210b284290fc258b 高中 解答题 自招竞赛 矩形 $ABCD$ 中，$AB=100$，$E$ 是 $AD$ 的中点．若 $AC\bot BE$，求小于 $AD$ 的最大整数． 2022-04-17 20:04:02
20685 5c77427b210b28428f14ce46 高中 解答题 自招竞赛 等边三角形 $T$ 内接于半径为10的圆 $A$，半径为3的圆 $B$ 与圆 $A$ 内切三角形 $T$ 的一个顶点处，半径都为2的圆 $C$ 和圆 $D$ 与圆 $A$ 内切于三角形 $T$ 的另外两个顶点处，圆 $B$、圆 $C$ 和圆 $D$ 都与半径为 $\frac{m}{n}$ 的圆 $E$ 外切，其中 $m$，$n$ 是互素的整数．求 $m+n$． 2022-04-17 20:03:02
20684 5c774284210b28428f14ce4b 高中 解答题 自招竞赛 前14个正整数组成一个集合 $\left| 1, 2,3, \ldots ,14 \right|$．此集合的符合如下条件的子集的数目为 $m$：子集均含有5个元素，且这5个元素至少有两个是连续的，求 $m$ 除以 $1000$ 的余数． 2022-04-17 20:03:02
20683 5c774290210b28428f14ce56 高中 解答题 自招竞赛 Dave投掷一颗均匀的骰子，直到第一次出现6点为止；Linda也独立投掷―颗均匀的骰子，直到第一次出现6点为止．设Dave投掷的次数等于或与Linda投掷的次数相差不超过1的概率为 $\frac{m}{n}$（其中 $m$，$n$ 是互素的正整数、求 $m+n$． 2022-04-17 20:02:02
20682 5c77429e210b28428f14ce5c 高中 解答题 自招竞赛 四座灯塔分别位于 $A$，$B$，$C$，$D$ 四点处，灯塔 $A$ 与灯塔 $B$ 相距 $5\text{km}$ 灯塔 $B$ 与灯塔 $C$ 相距 $12\text{km}$，灯塔 $A$ 与灯塔 $C$ 相距 $13\text{km}$．对灯塔 $A$ 处的观测者而言，灯塔 $B$，$D$ 所成的夹角与灯塔 $C$，$D$ 所成的夹角相等（即 $\angle BAD=\angle CAD$）；对灯塔 $C$ 处的观测者而言，灯塔 $A$，$B$ 所成的夹角与灯塔 $D$，$B$ 所成的夹角相等（即 $\angle ACB=\angle DCB$）．若灯塔 $A$ 与灯塔 $D$ 之间的距离为 $\frac{p\sqrt{r}}{q}\text{km}$，其中 $p$，$q$ 是互素的正整数，$r$ 不被任何素数的平方整除，求 $p+q+r$． 2022-04-17 20:02:02
20681 5c7742a4210b28428f14ce61 高中 解答题 自招竞赛 对某一特定的正整数组 $\left( m, n \right)$（其中 $m\geqslant n$），恰有50个不同的正整数 $k$ 使得 $\left| \log m-\log k \right|\log n$ 成立．求乘积 $mn$ 的所有可能值的和． 2022-04-17 20:01:02
20680 5c7742b0210b28428f14ce6b 高中 解答题 自招竞赛 设 $A$、$B$ 是半径为2的半圆弧的两端点．该半圆被六个点 ${{C}_{1}}$，${{C}_{2}}$，…，${{C}_{6}}$ 等分成七段，连接所有的弦 $A{{C}_{i}}$ 和 $B{{C}_{i}}$．设 $n$ 是这12条弦长度的乘积，求 $n$ 除以1000的余数． 2022-04-17 20:01:02
20679 5c7742b8210b28428f14ce71 高中 解答题 自招竞赛 数列 $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ 满足 ${{a}_{0}}=1$ 且 ${{a}_{n\text{+}1}}\text{=}\frac{8}{5}{{a}_{n}}+\frac{6}{5}\sqrt{{{4}^{n}}-a_{n}^{2}}$ 对所有的 $n\geqslant 0$ 均成立．求小于等于 ${{a}_{10}}$ 的最大整数． 2022-04-17 20:00:02
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