设整数 $N$ 能被36整除，它各数位上的数字两两不同且都是偶数。求 $N$ 的最大值除以1000所得的余数。
【难度】
【出处】
2010年第28届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
640
【解析】
因为 $36=4\times 9$，$\gcd \left( 4, 9 \right)=1$，所以 $N$ 只要满足分别被4和9整除即可。因为 $N$ 能被 $9$ 整除，所以 $N$ 的各位数字之和能被 $9$ 整除。因为 $N$ 的各位上的数字都是偶数，所以它们的和能被18整除，从而 $N$ 的各位上的数字只能是 $\left\{ 0 ,4 ,6, 8 \right\}$ 或 $\left\{4 6 8 \right\}$，$N$ 的最大可能值为 $8640$，而它恰能被 $4$ 整除。故所求的余数为 $640$ 。
答案
解析
备注
