Maya列出 ${{2010}^{2}}$ 的所有正约数，然后她从中随机选取两个不同的约数。设她选的两个约数中恰好有一个是完全平方数的概率为 $p$，且 $p$ 可以表示成 $\frac{m}{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是互素的正整数。求 $m+n$ 的值。
【难度】
【出处】
2010年第28届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
107
【解析】
因为 ${{2010}^{2}}={{2}^{2}}\times {{3}^{2}}\times {{5}^{2}}\times{{67}^{2}}$，所以 ${{2010}^{2}}$ 有 ${{\left( 2+1 \right)}^{4}}=81$ 个正因数。 ${{2010}^{2}}$ 的平方因子可以表示成 ${{2}^{w}}{{3}^{x}}{{5}^{y}}{{67}^{z}}$，其中 $w , x ,y, z$ 为 $0$ 或 $2$ 。所以 ${{2010}^{2}}$ 的平方因子共有 ${{2}^{4}}=16$ 个。从而
$p=\frac{16\times \left(81-16 \right)}{C_{81}^{2}}=\frac{16\times 65}{81\times 40}=\frac{26}{81}$
所以 $m+n=26+81=107$ 。
$p=\frac{16\times \left(81-16 \right)}{C_{81}^{2}}=\frac{16\times 65}{81\times 40}=\frac{26}{81}$
所以 $m+n=26+81=107$ 。
答案
解析
备注
