求出具有如下性质的正整数 $n$ 的最小值：多项式 ${{x}^{4}}-nx+63$ 可以分解成两个非常数的整系数多项式之积。
【难度】
【出处】
2010年第28届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
8
【解析】
如果 $ax-b$ 是给定多项式的因式，则 $a=1$，且 $b$ 是多项式的一个根。这样 $n={{b}^{3}}+\frac{63}{b}$ 。当 $b=3$ 时，$n$ 取得最小的整数值48。
若不然，假设 ${{x}^{4}}-nx+63=\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right)\left( d{{x}^{2}}+ex+f\right)$，其中所有的系数都为整数。不妨设 $a0$（否则可将每个因式乘以 $-1$），
这样 $ad=1$ 说明 $a=d=1$ 。比较 ${{x}^{3}}=$ 系数，得到 $b+e=0$，所以
${{x}^{4}}-nx+63={{x}^{4}}+\left( c+f-{{b}^{2}} \right){{x}^{2}}-\left( bc-bf\right)x+cf={{x}^{4}}+\left( c+f-{{b}^{2}}\right){{x}^{2}}+b\left( f-c \right)x+cf $
${{x}^{2}}$ 的系数为 $c+f-{{b}^{2}}$，常数项为 $cf=63$，所以 $c+f={{b}^{2}}$，从而 $c$ 和 $f$ 是正的。63的正因数对之和为 $1+63=64$，$3+21=24$，$7+9=16$，
只有第一个和第三个是完全平方数。对于第一种情况，$b=\pm 8$，且 $\left( {{x}^{2}}\pm 8x+63 \right)\left( {{x}^{2}}\mp 8x+1\right)={{x}^{4}}\mp 496x+63$ 。对于第二种情况，$b=\pm 4$，
且 $\left( {{x}^{2}}\pm 4x+9 \right)\left( {{x}^{2}}\mp 4x+7\right)={{x}^{4}}\mp 8x+63$ 。这种情况下 $n$ 的最小值为8，比前面的情况的 $n$ 值都小，所以 $n$ 的最小值为8。
若不然，假设 ${{x}^{4}}-nx+63=\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right)\left( d{{x}^{2}}+ex+f\right)$，其中所有的系数都为整数。不妨设 $a0$（否则可将每个因式乘以 $-1$），
这样 $ad=1$ 说明 $a=d=1$ 。比较 ${{x}^{3}}=$ 系数，得到 $b+e=0$，所以
${{x}^{4}}-nx+63={{x}^{4}}+\left( c+f-{{b}^{2}} \right){{x}^{2}}-\left( bc-bf\right)x+cf={{x}^{4}}+\left( c+f-{{b}^{2}}\right){{x}^{2}}+b\left( f-c \right)x+cf $
${{x}^{2}}$ 的系数为 $c+f-{{b}^{2}}$，常数项为 $cf=63$，所以 $c+f={{b}^{2}}$，从而 $c$ 和 $f$ 是正的。63的正因数对之和为 $1+63=64$，$3+21=24$，$7+9=16$，
只有第一个和第三个是完全平方数。对于第一种情况，$b=\pm 8$，且 $\left( {{x}^{2}}\pm 8x+63 \right)\left( {{x}^{2}}\mp 8x+1\right)={{x}^{4}}\mp 496x+63$ 。对于第二种情况，$b=\pm 4$，
且 $\left( {{x}^{2}}\pm 4x+9 \right)\left( {{x}^{2}}\mp 4x+7\right)={{x}^{4}}\mp 8x+63$ 。这种情况下 $n$ 的最小值为8，比前面的情况的 $n$ 值都小，所以 $n$ 的最小值为8。
答案
解析
备注
