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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20638 5c8a216d210b286d125ef278 高中 解答题 高中习题 甲和乙在圆盘上玩一个游戏，在一轮内甲和乙分别进行如下操作，圆盘标了 $80$ 个数，它们在第一轮开始前均为 $0$．（1）甲在圆盘上每个数加上一个非负实数，使这 $80$ 个数总和增加 $1$．（2）乙在圆盘上寻找总和最大的相邻的十个数，将其全变为 $0$．（若圆盘上有多组总和最大，乙任选一组）若一轮结束后，圆盘上有某个数达到 $k$（事先给定）甲获胜否则游戏进入下一轮．问对怎样的 $k$，甲有必胜策略． 2022-04-17 20:37:01
20637 5c8b19f4210b286d125ef27e 高中 解答题 高中习题 过 $\bigodot O$ 外一点 $A$，作 $A$ 关于 $\bigodot O$ 的两条切线分别切 $\bigodot O$ 于 $B,C$，$P$ 为劣弧 ${\stackrel{{\mbox{$ \Large{\frown} $}}}{BC}}$ 上一动点过 $P$ 作 $\bigodot O$ 切线分别交 $AB,AC$ 于 $D,E$，连接 $AO$，直线 $CP$ 于 $AO$ 交于 $V$，$BP$ 与 $AD$ 交于 $U$，过点 $P$ 作 $AB,AC$ 垂线分别交 $DV,EU$ 于 $M,N$（过 $AB$ 垂线于 $DV$ 交于 $M$，过 $AC$ 垂线与 $EU$ 交于 $N$）．求证：存在不依赖点 $P$ 的点 $L$，令 $M,N,L$ 共线． 2022-04-17 20:37:01
20636 5c8b1d6c210b286d125ef2be 高中 解答题 高中习题 对非负有序整数组 $\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{10}\right)$，$x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{10}=2019$，我们定义一次操作为如下，对 $\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{10}\right)$ 中某个大于等于 $9$ 的分量减 $9$，其余 $9$ 个分量均加 $1$，若 $A$ 通过有限次操作可得到 $B$，则称 $A\rightarrow B$，定义 $S_{k}={\left(x_{1},x_{2},\cdots x_{10}\right)|min{x_{1},x_{2},\cdots,x_{10}}\geqslant k,x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{10}=2019}$，问（1）求最小的 $k$，令 $S_{k}$ 中任两个元素 $A,B$，若 $A\rightarrow B$ 则 $B\rightarrow A$．（2）$k$ 为（1）所给定正整数，则我们至多在 $S_{k}$ 中可选取几个元素，令我们选取的元素中任两个元素 $A^\prime,B^\prime$，$A^\prime,B^\prime$ 互不联通（即 $A^\prime\rightarrow B^\prime$ 不成立，$B^\prime\rightarrow A^\prime$ 不成立）． 2022-04-17 20:36:01
20635 5c8b1b1d210b286d074540fd 高中 解答题 自招竞赛 盖瑞买了一大瓶饮料，但是他只喝去了其中的 $\frac{m}{n}$（$m$，$n$ 为互质正整数）。如果他只买一半的饮料同时喝去原先两倍的量，那么他浪费掉的饮料只会是之前浪费量的 $\frac{2}{9}$ 。求出 $m+n$ 。 2022-04-17 20:35:01
20634 5c8b1b28210b286d07454103 高中 解答题 自招竞赛 对于正方形 $\square ABCD$，点 $E$ 在边 $AD$ 上，点 $F$ 在边 $BC$ 上，并且 $BE=EF=FD=30$ 。求 $\square ABCD$ 面积。 2022-04-17 20:35:01
20633 5c8b1b2d210b286d07454108 高中 解答题 自招竞赛 凸 $18$ 边形的内角角度构成了整数等差数列。求最小内角的度数。 2022-04-17 20:35:01
20632 5c8b1b31210b286d125ef288 高中 解答题 自招竞赛 在 $\Delta ABC$ 中，$AB=\frac{20}{11}AC$ 。 $\angle A$ 的角平分线与 $BC$ 边交于点 $D$ 。点 $M$ 是 $AD$ 边中点。点 $P$ 是 $AC$ 与直线 $BM$ 交点。 $\frac{CP}{PA}=\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数。求 $m+n$ 。 2022-04-17 20:34:01
20631 5c8b1b36210b286d0745410e 高中 解答题 自招竞赛 某等比数列的前 $2011$ 项之和为 $200$ 。前 $4022$ 项之和为 $380$ 。求前 $6033$ 项之和。 2022-04-17 20:34:01
20630 5c8b1b3c210b286d07454113 高中 解答题 自招竞赛 称有序四元数组 $\left( a\text{,}b\text{,}c\text{,}d \right)$ 为有趣的，如果 $1\leqslant a\text{}b\text{}c\leqslant 10$，且 $a+d\text{}b+c$ 。求有趣的四元数组的个数。 2022-04-17 20:33:01
20629 5c8b1b43210b286d125ef28f 高中 解答题 自招竞赛 爱德有 $5$ 块相同的绿色大理石和大量相同的红色大理石。将绿色和红色的大理石排成一排后，他发现与自己右侧相邻石子颜色相同的大理石和与自己右侧相邻石子颜色不同的大理石个数相同。例如，排列方式为 绿绿红红红绿绿红绿 既满足条件。记 $m$ 为存在满足条件的排列方式的红大理石数目的最大值，并记 $N$ 为 $m+5$ 块大理石构成的满足条件的排列方式的个数。求 $N$ 模 $1000$ 的值。 2022-04-17 20:32:01
20628 5c8b1b48210b286d07454118 高中 解答题 自招竞赛 令 ${{z}_{1}}\text{,}{{z}_{2}}\text{,}{{z}_{3}}\text{,}\cdots \text{,}{{z}_{12}}$ 为多项式 ${{z}^{12}}-{{2}^{36}}$ 的12个根。对于每一个 $j$，令 ${{w}_{j}}$ 取值 ${{z}_{j}}$ 或 $i{{z}_{j}}$ 。这时 $\displaystyle \sum\limits_{j\text{=}1}^{12}{{{w}_{j}}}$ 实部的最大值可以写作 $m+\sqrt{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为正整数。求 $m+n$ 。 2022-04-17 20:32:01
20627 5c8b1b50210b286d0745411d 高中 解答题 自招竞赛 令 ${{x}_{1}}\text{,}{{x}_{2}}\text{,}\cdots \text{,}{{x}_{6}}$ 为非负实数，满足 ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\cdots +{{x}_{6}}\text{=}1$ 且 ${{x}_{1}}{{x}_{3}}{{x}_{5}}+{{x}_{2}}{{x}_{4}}{{x}_{6}}\geqslant \frac{1}{540}$ 。 ${{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}{{x}_{4}}+{{x}_{3}}{{x}_{4}}{{x}_{5}}+{{x}_{4}}{{x}_{5}}{{x}_{6}}+{{x}_{5}}{{x}_{6}}{{x}_{1}}+{{x}_{6}}{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ 最大值为 $\frac{p}{q}$，其中 $p\text{,}q$ 为互质正整数。求 $p+q$ 。 2022-04-17 20:31:01
20626 5c8b1b56210b286d125ef296 高中 解答题 自招竞赛 $\odot O$ 半径5，弦 $AB$ 长 $30$，弦 $CD$ 长 $14$，且 $AB,CD$ 相交于 $P$ 。两弦中点距离为 $12$ 。 $O{{P}^{2}}=\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数。求 $m+n$ 模 $1000$ 的值。 2022-04-17 20:31:01
20625 5c8b1b5b210b286d125ef29c 高中 解答题 自招竞赛 ${{M}_{n}}$ 为满足以下条件的 $n\times n$ 矩阵：对 $1\leqslant i\leqslant n\text{,}{{m}_{i\text{,}i}}\text{=10;}$ 对 $1\leqslant i\leqslant n-1\text{,}{{m}_{i+1\text{,}i}}\text{=}{{m}_{i\text{,i}+1}}\text{=}3\text{;}$ 其余元素为 $0$ 。令 ${{D}_{n}}$ 为 ${{M}_{n}}$ 行列式的值。记 $\displaystyle \sum\limits_{n\text{=}1}^{\infty }{\frac{1}{8{{D}_{n}}+1}\text{=}}\frac{p}{q}$，其中 $p\text{,}q$ 为互质正整数。求 $p+q$ 。 2022-04-17 20:30:01
20624 5c8b1b60210b286d07454123 高中 解答题 自招竞赛 现有三个不同国家，每个国家三人共九名代表。他们随机坐在圆桌的九个座位。记每个代表至少与一名来自不同国家代表相邻的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数。求 $m+n$ 。 2022-04-17 20:30:01
20623 5c8b1b67210b286d125ef2a2 高中 解答题 自招竞赛 点 $P$ 在正方形 $\square ABCD$ 对角线 $AC$ 上，满足 $AP>CP$ 。 ${{O}_{1}},{{O}_{2}}$ 分别为 $\Delta ABP,\Delta CDP$ 外接圆圆心。已知 $AB=12,\angle {{O}_{1}}P{{O}_{2}}={{120}^{\circ }}$，记 $AP=\sqrt{a}+\sqrt{b}$，其中 $a\text{,}b$ 为互质正整数。求 $a+b$ 。 2022-04-17 20:29:01
20622 5c8b1b72210b286d125ef2ad 高中 解答题 自招竞赛 $P\left( x \right)\text{=}{{x}^{2}}-3x-9$，实数 $x$ 从区间 $5\leqslant x\leqslant 15$ 随机选取。 $\left[ \sqrt{P\left( x \right)} \right]\text{=}\sqrt{P\left( \left[ x \right] \right)}$ 的概率等于 $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}-d}{e}$，其中 $a\text{,}b\text{,}c\text{,}d\text{,}e$ 为正整数且没有平方因子。求 $a+b+c+d$ 。 2022-04-17 20:28:01
20621 5c8b1eb8210b286d125ef2c4 高中 解答题 高中习题 $a_{1},a_{2},\cdots a_{n}$ 为 $n$ 个非负实数，且 $a_{1}+a_{2}+\cdots a_{n}=1$，$n$ 为正偶数给定，求 $\begin{equation*}\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}min{\left(n-j+i\right)^2,\left(j-i\right)^2}a_{i}a_{j}\end{equation*}$ 最大可能值． 2022-04-17 20:28:01
20620 5c8b4bf4210b286d0745415f 高中 解答题 高中习题 问是否存在两个正整数集合 $A,B$，满足（1）$A$ 为有限集至少有 $2$ 个元素，$B$ 为无限集．（2）定义 $S={a+b|a\in A,b\in B}$，$S$ 中元素两两互质．（3）对 $\forall m,n\in\mathbb{N}^{*},\left(m,n\right)=1$，$S$ 中有无穷多个元素 $n\pmod m$ 2022-04-17 20:28:01
20619 5c8b1b6d210b286d125ef2a7 高中 解答题 自招竞赛 $N$ 为满足以下条件的 $1\text{,}2\text{,}3\text{,}\cdots \text{,}30$ 的排列 $\left( {{a}_{1}}\text{,}{{a}_{2}}\text{,}\cdots \text{,}{{a}_{30}} \right)$ 的个数：对于 $m\in \left\{ 2\text{,}3\text{,}5 \right\}\text{,}\left. m \right|{{a}_{m+n}}-{{a}_{n}}\text{,}\forall n\text{,}1\leqslant n<n+m\leqslant 30$ 。求 $N$ 模 $1000$ 的值。 2022-04-17 20:28:01
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