正整数 $x$，$y$ 和 $z$ 满足 $xyz={{10}^{81}}$，且
$\left( {{\log }_{10}}x \right)\left( {{\log }_{10}}yz \right)+\left( {{\log }_{10}}y \right)\left( {{\log }_{10}}z \right)=468$ 。
求 $\sqrt{{{\left( {{\log }_{10}}x \right)}^{2}}+{{\left( {{\log }_{10}}y \right)}^{2}}+{{\left( {{\log }_{10}}z \right)}^{2}}}$ 的值。
$\left( {{\log }_{10}}x \right)\left( {{\log }_{10}}yz \right)+\left( {{\log }_{10}}y \right)\left( {{\log }_{10}}z \right)=468$ 。
求 $\sqrt{{{\left( {{\log }_{10}}x \right)}^{2}}+{{\left( {{\log }_{10}}y \right)}^{2}}+{{\left( {{\log }_{10}}z \right)}^{2}}}$ 的值。
【难度】
【出处】
2010年第28届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
75
【解析】
令 $a={{\log }_{10}}x$，$b={{\log }_{10}}y$，$c={{\log }_{10}}z$ 。在方程 $xyz={{10}^{81}}$ 的两边取对数得到 $a+b+c={{\log }_{10}}xyz=81$ 。这个等式两边平方可得 ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=2ad+2ac+2bc={{81}^{2}}$ 。注意到
${{\log }_{10}}x\cdot {{\log }_{10}}yz={{\log}_{10}}x\left( {{\log }_{10}}y+{{\log }_{10}}z \right)=ab+ac$，所以
$\sqrt{{{\left( {{\log }_{10}}x\right)}^{2}}+{{\left( {{\log }_{10}}y \right)}^{2}}+{{\left( {{\log }_{10}}z\right)}^{2}}}=\sqrt{{{81}^{2}}-2\times 468}=\sqrt{5625}=75$ 。
${{\log }_{10}}x\cdot {{\log }_{10}}yz={{\log}_{10}}x\left( {{\log }_{10}}y+{{\log }_{10}}z \right)=ab+ac$，所以
$\sqrt{{{\left( {{\log }_{10}}x\right)}^{2}}+{{\left( {{\log }_{10}}y \right)}^{2}}+{{\left( {{\log }_{10}}z\right)}^{2}}}=\sqrt{{{81}^{2}}-2\times 468}=\sqrt{5625}=75$ 。
答案
解析
备注
