Jackie和Phil有两枚匀称的硬币和一枚不匀称的硬币，这枚不匀称的硬币抛出后正面出现的概率为 $\frac{4}{7}$ 。Jackie投掷这三枚硬币，然后Phil也投掷这三枚硬币。假设Jackie和Phil得到正面的个数相同的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数，求 $m+n$ 的值。
【难度】
【出处】
2010年第28届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
515
【解析】
设 $p\left( h \right)$ 为Jackie投得 $h$ 个正面的概率，则
$p\left( 0\right)={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}\times \frac{3}{7}=\frac{3}{28}$，
$p\left( 1\right)=2\times \frac{1}{4}\times \frac{3}{7}+\frac{1}{4}\times\frac{4}{7}=\frac{5}{14}$，
$p\left( 2\right)=\frac{1}{4}\times \frac{3}{7}+2\times \frac{1}{4}\times\frac{4}{7}=\frac{11}{28}$，
$p\left( 3\right)=\frac{1}{4}\times \frac{4}{7}=\frac{1}{7}$ 。
Jackie和Phil得到正面的个数相同的概率为
${{\left[ p\left( 0\right) \right]}^{2}}+{{\left[ p\left( 1 \right) \right]}^{2}}+{{\left[ p\left(2 \right) \right]}^{2}}+{{\left[ p\left( 3 \right) \right]}^{2}}$
$={{\left( \frac{3}{28}\right)}^{2}}+{{\left( \frac{5}{14} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{11}{28}\right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{7} \right)}^{2}}=\frac{123}{392}$ 。
故所求的和为 $123+392=515$ 。
$p\left( 0\right)={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}\times \frac{3}{7}=\frac{3}{28}$，
$p\left( 1\right)=2\times \frac{1}{4}\times \frac{3}{7}+\frac{1}{4}\times\frac{4}{7}=\frac{5}{14}$，
$p\left( 2\right)=\frac{1}{4}\times \frac{3}{7}+2\times \frac{1}{4}\times\frac{4}{7}=\frac{11}{28}$，
$p\left( 3\right)=\frac{1}{4}\times \frac{4}{7}=\frac{1}{7}$ 。
Jackie和Phil得到正面的个数相同的概率为
${{\left[ p\left( 0\right) \right]}^{2}}+{{\left[ p\left( 1 \right) \right]}^{2}}+{{\left[ p\left(2 \right) \right]}^{2}}+{{\left[ p\left( 3 \right) \right]}^{2}}$
$={{\left( \frac{3}{28}\right)}^{2}}+{{\left( \frac{5}{14} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{11}{28}\right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{7} \right)}^{2}}=\frac{123}{392}$ 。
故所求的和为 $123+392=515$ 。
答案
解析
备注
