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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20718 5c761a98210b284290fc2513 高中 解答题 自招竞赛 同样规格的木箱的长、宽、高分别是3英尺、4英尺、6英尺．第一个木箱放置在地面上，其余9个木箱依次被放置于前一个木箱的上面，且每个木箱的朝向完全随机的．设堆放木箱的高度正好为41英尺的概率是 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数，求 $m$． 2022-04-17 20:23:02
20717 5c761a9f210b28428f14cd97 高中 解答题 自招竞赛 在等腰梯形 $ABCD$ 中，$AD\parallel BC$，下底 $AD$ 上的底角是 $\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}$，对角线长为 $10\sqrt{21}$．平面上一点 $E$ 满足 $EA=10\sqrt{7}$，$ED=30\sqrt{7}$．作 $CF\bot AD$ 于 $F$．线段 $EF$ 的长度可以表示为 $m\sqrt{n}$ 的形式，其中 $m$，$n$ 是正整数，且 $n$ 不能被任何素数的平方整除．求 $m+n$． 2022-04-17 20:22:02
20716 5c761aa6210b284290fc2518 高中 解答题 自招竞赛 考查完全由字母 $A$ 和 $B$ 组成的具有如下性质的序列：每段连续的 $A$ 有偶数个，每段连续的 $B$ 有奇数个．例如 $AA$，$B$，$AABAA$ 都是这样的序列，而 $BBAB$ 就不是这样的序列．
在长度为14的序列中有多少个具有这种性质？		 2022-04-17 20:21:02
20715 5c761ab2210b28428f14cd9d 高中 解答题 自招竞赛 在一段单车道单行线的长直高速公路上，汽车均以相同的速度且都遵循安全规则：每个15千米/小时的速度，前一辆车的车尾到下一辆车的车头的距离是一辆车的长度（不足15千米/小时的按15千米/小时算，例如，当前一辆车每小时行52千米时，前一辆车的车尾与后一辆车的车头将相距4个车长）．安放在路边的电子眼摄像头用来记录一小时内通过的车辆数目，假定每辆车的车长均为4米，且汽车可以以任何速度穿过．设 $M$ 是一小时内电子眼摄像头能够记录的最大数自．求 $M$ 被10除所得的商． 2022-04-17 20:21:02
20714 5c761abb210b28428f14cda2 高中 解答题 自招竞赛 设 $p\left( x ,y \right)={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}y+{{a}_{3}}{{x}^{2}}+{{a}_{4}}x{{y}^{2}}+{{a}_{5}}{{x}^{2}}+{{a}_{6}}{{x}^{3}}+{{a}_{7}}{{x}^{2}}y+{{a}_{8}}x{{y}^{2}}+{{a}_{9}}{{y}^{3}}$ 满足 $p\left( 0, 0 \right)$ $=p\left( 1 ,0 \right)=p\left( -1 ,0 \right)=p\left( 0 ,1 \right)=p\left( 0, -1 \right)=p\left( 1 ,1 \right)=p\left( 1 ,-1 \right)=p\left( 2 ,2 \right)=0$．存在点 $\left( \frac{a}{c}, \frac{b}{c} \right)$ 使得对所有满足上面性质的多项式 $p$ 都有 $p\left( \frac{a}{c} ,\frac{b}{c} \right)=0$，其中是正整数，且 $a$ 与 $c$ 互素，$c1$．求 $a+b+c$． 2022-04-17 20:20:02
20713 5c761ac1210b284290fc2520 高中 解答题 自招竞赛 ⊙ $\omega $ 的直径为 $AB$，延长 $BA$ 到 $C$，过 $C$ 作 $CT$ 切⊙ $\omega $ 于 $T$，作 $AP\bot CT$ 于 $P$，设 $AB=18$，$m$ 表示线段 $BP$ 长度的最大值．求 ${{m}^{2}}$． 2022-04-17 20:20:02
20712 5c761ac7210b28428f14cda8 高中 解答题 自招竞赛 正方形纸片的边长为100，在其每个角上按如下方式剪下一个楔形：距离正方形顶点 $\sqrt{17}$ 处入刀下剪，使得两刀口在正方形的对角线处相交 $60{}^\circ $ 角（图26-1），接着把这个顶点处的两条切口折起并用胶粘在一起，这样这张纸就做成一个纸盘，这个纸盘的侧面和底面所成的角不是直角．这个纸盘的高度（即纸盘最高处到纸盘底面的垂直距离）可以写成 $\sqrt[n]{m}$ 的形式，这里 $m$，$n$ 是正整数，$m<1000$，且 $m$ 不被任何素数的 $n$ 次方整除．求 $m+n$． 2022-04-17 20:19:02
20711 5c761fd0210b284290fc252e 高中 解答题 自招竞赛 设 $N={{100}^{2}}+{{99}^{2}}-{{98}^{2}}-{{97}^{2}}+{{96}^{2}}+\ldots +{{4}^{2}}+{{3}^{2}}-{{2}^{2}}-{{1}^{2}}$，其中加减号成对轮流出现，求 $N$ 除以1000的余数． 2022-04-17 20:18:02
20710 5c761fda210b284290fc2533 高中 解答题 自招竞赛 鲁道夫匀速骑车，每骑车一英里休息5分钟，詹妮弗匀速骑车，每骑车两英里休息5分钟，鲁道夫和詹尼弗同时同地出发且同时到达50英里远的地方，已知詹妮弗骑车的速度是鲁道夫的 $\frac{3}{4}$，问每人在路上所用的时间是多少分钟？ 2022-04-17 20:17:02
20709 5c761fe2210b28428f14cdb8 高中 解答题 自招竞赛 一块长方体奶酪的长、宽、高分别为 $10\text{cm}$，$13\text{cm}$，$14\text{cm}$．每次从平行于奶酪某个面的方向中切出厚度为 $1\text{cm}$ 的一片奶酪，共切10次，每次切的方向不必是互相平行的．在10次切除之后剩余奶酪的最大体积是多少立方厘米？ 2022-04-17 20:17:02
20708 5c761fec210b284290fc253a 高中 解答题 自招竞赛 已知存在唯一一组 $r$ 个非负数 ${{n}_{1}}{{n}_{2}}\ldots {{n}_{r}}$ 和 $r $ 个整数 ${{a}_{1}}$，${{a}_{2}}$，…，${{a}_{r}}$，其中每个 ${{a}_{k}}$ 的取值是1或 $-1$，使得 ${{a}_{1}}\times {{3}^{{{n}_{1}}}}+{{a}_{2}}\times {{3}^{{{n}_{2}}}}+\ldots +{{a}_{r}}\times {{3}^{{{n}_{r}}}}=2008$，求 ${{n}_{1}}+{{n}_{2}}+\ldots +{{n}_{r}}$ 的值． 2022-04-17 20:16:02
20707 5c761ff3210b28428f14cdbe 高中 解答题 自招竞赛 在梯形 $ABCD$ 中，$BC\parallel AD$，$BC=1000$，$AD=2008$，$\angle A=37{}^\circ $，$\angle D=53{}^\circ $．点 $M$ 和 $N$ 分别为边 $BC$ 和 $AD$ 的中点，求线段 $MN$ 的长度． 2022-04-17 20:16:02
20706 5c762032210b28428f14cdc4 高中 解答题 自招竞赛 定义数列 $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ 如下：${{a}_{0}}=1$，${{a}_{1}}=1$，当 $n\geqslant 2$ 时有 ${{a}_{n}}={{a}_{n-1}}+\frac{a_{n-1}^{2}}{{{a}_{n-2}}}$；定义数列 $\left\{ {{b}_{n}} \right\}$ 如下：${{b}_{0}}=1, {{b}_{1}}=3$，当 $n\geqslant 2$ 时有 ${{b}_{n}}={{b}_{n-1}}+\frac{b_{n-1}^{2}}{{{b}_{n-2}}}$．求 $\frac{{{b}_{32}}}{{{a}_{32}}}$ 的值． 2022-04-17 20:15:02
20705 5c76203c210b28428f14cdca 高中 解答题 自招竞赛 设 $r$，$s$，$t$ 是方程 $8{{x}^{3}}+1001x+2008=0$ 的三个根，求 ${{\left( r+s \right)}^{3}}+{{\left( s+t \right)}^{3}}+{{\left( t+r \right)}^{3}}$ 的值． 2022-04-17 20:15:02
20704 5c76204e210b284290fc2545 高中 解答题 自招竞赛 一个质点位于坐标平面上点 $\left( 5 ,0 \right)$ 处，定义质点的一次移动是先绕原点逆时针旋转 $\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}$ 弧度，再沿 $X$ 轴正方向平移10个单位．若此质点做150次这样的移动后位于点 $\left( p, q \right)$ 处，求不关于 $\left| p \right|+\left| q \right|$ 的最大正整数． 2022-04-17 20:14:02
20703 5c762056210b28428f14cdd1 高中 解答题 自招竞赛 图26-3所示是一个 $4\times 4$ 的点阵，最近的两个点相距为1个单位，定义一个生长路径是点阵中不同点之间的一个序列，且连续两点之间的距离严格单调（这个点列中第1、2个点间距离小于第2、3个点间距离，第2、3个点间距离于第3、4个点间距离……）．一条生长路径所含点数目的最大值为 $m$，恰好含有 $m$ 个点的生长路径一共有 $r$ 条，求 $m\cdot r$ 的值． 2022-04-17 20:13:02
20702 5c76208d210b28428f14cdd7 高中 解答题 自招竞赛 在 $\vartriangle ABC$ 中，$AB=AC=100$，$BC=56$．⊙ $P$ 的半径为16，且与边 $AC$，$BC$ 相切．⊙ $Q$ 位于 $\vartriangle ABC$ 内部，且与⊙ $P$，$AB$，$BC$ 都相切．⊙ $Q$ 的半径可以写成 $m-n\sqrt{k}$ 的形式，其中 $m$，$n$，$k$ 都是正整数，且 $k$ 为一些不同素数之积，求 $m+nk$ 的值． 2022-04-17 20:12:02
20701 5c762097210b28428f14cddc 高中 解答题 自招竞赛 有两根不同的旗杆和19面旗帜，其中蓝旗有10面，绿旗有9面．现在要将所有旗帜都挂在旗杆上，使得每一根旗杆至少有1面旗帜，且任意两面绿旗不相邻．设这样的排列方法数为 $N$，求 $N$ 除以1000的余数． 2022-04-17 20:12:02
20700 5c7620a6210b28428f14cde6 高中 解答题 自招竞赛 设 $a$，$b$ 为正实数，且 $a\geqslant b$，设 $p$ 是 $\frac{a}{b}$ 的最大值，使得方程组
${{a}^{2}}+{{y}^{2}}={{b}^{2}}+{{x}^{2}}={{\left( a-x \right)}^{2}}+{{\left( b-y \right)}^{2}}$
有一解 $\left( x, y \right)$ 满足 $0\leqslant x\leqslant a$，$0\leqslant y\leqslant b$．${{p}^{2}}$ 可以写成分数 $\frac{m}{n}$ 的形式，其中 $m$，$n$ 为互素的正整数，求 $m+n$ 的值．		 2022-04-17 20:12:02
20699 5c7620ad210b284290fc254e 高中 解答题 自招竞赛 求出满足以下两个条件的最大正整数 $n$：
（1）${{n}^{2}}$ 可以表示成两个连续整数的立方之差；
（2）$2n+79$ 是平方数．		 2022-04-17 20:11:02
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