正整数 $a$，$b$，$c$ 和 $d$ 满足 $abcd$，$a+b+c+d=2010$ 和 ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{d}^{2}}=2010$ 。求 $a$ 的所有可能值的个数。
【难度】
【出处】
2010年第28届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
501
【解析】
注意到 ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{d}^{2}}=\left( a-b \right)\left( a+b\right)+\left( c-d \right)\left( c+d \right)=a+b+c+d$，所以 $a-b=c-d=1$ 。从而 $2010=a+\left(a-1 \right)+c+\left( c-1 \right)$，所以 $a+c=1006$ 。由条件 $ac$ 可得 $a\geqslant 504$ 。由条件 $cd$ 可得 $c\geqslant 2$，所以 $a\leqslant 1004$ 。对每个整数 $k$，其中 $0\leqslant k\leqslant 500$，有序四元组 $\left( a b c d \right)=\left(504+k 503+k 502-k 501-k \right)$ 满足题条件，所以 $a$ 的所有可能值的个数为501。
答案
解析
备注
