如果集合 $A$，$B$ 和 $C$ 满足 $\left| A\bigcap B \right|=\left| B\bigcap C \right|=\left| C\bigcap A \right|=1$ 且 $A\bigcap B\bigcap C=\varnothing $，则我们称有序三元组 $\left( A B C \right)$ 为最小相交。例如，$\left( \left| 1 ,2 \right| \left| 2 ,3 \right| \left| 1, 3, 4 \right| \right)$ 是一个最小相交的三元组。在由集合 $\left\{ 1, 2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 \right\}$ 的子集构成的所有有序三元组中，令 $N$ 为最小相交的有序与三元组的个数。求 $N$ 除以1000的余数（$\left| S \right|$ 表示集合 $S$ 中的元素的个数）。
【难度】
【出处】
2010年第28届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
760
【解析】
令 $S=\left\{ 1,2 ,3 ,4 ,5 ,6, 7 \right\}$ 。如果 $\left(A ,B ,C \right)$ 是由 $S$ 的子集构成的最小相交的有序三元组，则存在两两不同的 $x ,y,z\in \mathbf{S}$，使得 $A\bigcap B=\left\{ x \right\}$，$B\bigcap C=\left\{ y \right\}$，$C\bigcap A=\left\{ z \right\}$ 。一共有 $7\times 6\times 5$ 种方式选取 $x$，$y$，$z$，对 $S$ 中剩下的4个元素，每个元素有4种分配方式（即它属于集合 $A ,B ,C$ 中的某一个，或不属于任何一个）。 $N=7\times 6\times 5\times {{4}^{4}}=210\times 256=53760$，所求的余数为 $760$ 。
答案
解析
备注
