在单位正方形 $S$ 内随机选取一点 $P$，令 $d\left( P \right)$ 为点 $P$ 到最近的边的距离。 $\frac{1}{5}\leqslant d\left( P \right)\leqslant \frac{1}{3}$ 的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数，求 $m+n$ 的值。
【难度】
【出处】
2010年第28届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
281
【解析】
注意到正方形的面积为1，所以所求的概率等于满足条件的区域的面积。对 $0r1$，令 ${{S}_{r}}$ 表示边长为 $r$，中心与 $S$ 的中心重合的正方形，且 ${{S}_{r}}$ 的边与 $S$ 的边平行。如果点 $P$ 在 ${{S}_{r}}$ 的边上，则 $d\left( P \right)=\frac{1-r}{2}$ 。当点 $P$ 在 ${{S}_{3/5}}$ 内而在 ${{S}_{1/3}}$ 外时，$\frac{1}{5}\leqslant d\left( P \right)\leqslant \frac{1}{3}$ 。这种情况的概率为 $\frac{9}{25}-\frac{1}{9}=\frac{56}{225}$，所以 $m+n=281$ 。
答案
解析
备注
