设2010可以用 $N$ 种方式表示成如下形式：
$2010={{a}_{3}}\cdot {{10}^{3}}+{{a}_{2}}\cdot {{10}^{2}}+{{a}_{1}}\cdot 10+{{a}_{0}}$
其中 ${{a}_{i}}$ 是整数，且 $0\leqslant {{a}_{i}}\leqslant 99$ 。例如 $1\times {{10}^{3}}+3\times {{10}^{2}}+67\times {{10}^{1}}+40\times {{10}^{0}}$ 是其中的一种表示。求 $N$ 的值。
$2010={{a}_{3}}\cdot {{10}^{3}}+{{a}_{2}}\cdot {{10}^{2}}+{{a}_{1}}\cdot 10+{{a}_{0}}$
其中 ${{a}_{i}}$ 是整数，且 $0\leqslant {{a}_{i}}\leqslant 99$ 。例如 $1\times {{10}^{3}}+3\times {{10}^{2}}+67\times {{10}^{1}}+40\times {{10}^{0}}$ 是其中的一种表示。求 $N$ 的值。
【难度】
【出处】
2010年第28届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
202
【解析】
令 ${{a}_{i}}=10{{b}_{i}}+{{c}_{i}}$，其中 ${{b}_{i}}$，${{c}_{i}}\in \left\{ 1 ,2 ,\ldots ,7 ,8 ,9\right\}$，由此可知 ${{b}_{i}}$ 和 ${{c}_{i}}$ 确定唯一的 ${{a}_{i}}$ 。
令 $m={{b}_{3}}\cdot {{10}^{3}}+{{b}_{2}}\cdot {{10}^{2}}+{{b}_{1}}\cdot10+{{b}_{0}}\cdot {{10}^{0}}$ 和 $n={{c}_{3}}\cdot {{10}^{3}}+{{c}_{2}}\cdot 10+{{c}_{1}}\cdot10+{{c}_{0}}\cdot {{10}^{0}}$，原来的表达式变为
$2010=\left( 10{{b}_{3}}+{{c}_{3}} \right)\cdot{{10}^{3}}+\left( 10{{b}_{2}}+{{c}_{2}} \right)\cdot {{10}^{2}}+\left(10{{b}_{1}}+{{c}_{1}} \right)\cdot 10+\left( 10{{b}_{0}}+{{c}_{0}} \right)\cdot{{10}^{0}}$
$=10m+n$
因此 $N$ 等于2010表示成 $10m+n$（其中 $m$，$n$ 为非负整数）形式的方法数。注意到 $m\in \left\{ 0, 1 ,\ldots ,201 \right\}$，$n=2010-10m$，都有 $10m+n=2010$，且2010也只有这些表达方式。所以 $N=202$ 。
令 $m={{b}_{3}}\cdot {{10}^{3}}+{{b}_{2}}\cdot {{10}^{2}}+{{b}_{1}}\cdot10+{{b}_{0}}\cdot {{10}^{0}}$ 和 $n={{c}_{3}}\cdot {{10}^{3}}+{{c}_{2}}\cdot 10+{{c}_{1}}\cdot10+{{c}_{0}}\cdot {{10}^{0}}$，原来的表达式变为
$2010=\left( 10{{b}_{3}}+{{c}_{3}} \right)\cdot{{10}^{3}}+\left( 10{{b}_{2}}+{{c}_{2}} \right)\cdot {{10}^{2}}+\left(10{{b}_{1}}+{{c}_{1}} \right)\cdot 10+\left( 10{{b}_{0}}+{{c}_{0}} \right)\cdot{{10}^{0}}$
$=10m+n$
因此 $N$ 等于2010表示成 $10m+n$（其中 $m$，$n$ 为非负整数）形式的方法数。注意到 $m\in \left\{ 0, 1 ,\ldots ,201 \right\}$，$n=2010-10m$，都有 $10m+n=2010$，且2010也只有这些表达方式。所以 $N=202$ 。
答案
解析
备注
