对每个正整数 $n$，设 $\displaystyle f\left( n \right)=\sum\limits_{k=1}^{100}{\left[ {{\log }_{10}}\left( kn \right) \right]}$ 。求 $n$ 的最大值，使得 $f\left( n \right)\leqslant 300$（$\left[ x \right]$ 表示小于或等于 $x$ 的最大整数）。
【难度】
【出处】
2010年第28届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
109
【解析】
注意到 $f\left( 1 \right)=9\times 0+90\times 1+2=92$，$f\left(10n \right)=100+f\left( n \right)$，故 $f\left( 100 \right)=292$，$f\left(1000 \right)=392$ 。对 $0\leqslant j\leqslant 100$，$2\leqslant {{\log }_{10}}\left[ k\left( 100+j \right) \right]5$ 。再者，${{\log}_{10}}\left[ k\left( 100+j \right) \right]\geqslant 3$ 当且仅当 $k\geqslant \frac{1000}{100+j}=10-\frac{10j}{100+j}$，也就是 $k\ge10-\left[ \frac{10j}{100+j} \right]$；${{\log }_{10}}\left[ k\left( 100+j \right)\right]\geqslant 4$ 当且仅当 $k\geqslant \frac{10000}{100+j}=100-\frac{100j}{100+j}$，也就是 $k\ge100-\left[ \frac{10j}{100+j} \right]$ 。
所以在序列中值至少为3的项的个数为 $91+\left[ \frac{10j}{100+j} \right]$ 。同样，值至少为4的项的个数为 $1+\left[ \frac{10j}{100+j} \right]$ 。这说明 $f\left( 100+j \right)=200+91+1+\left[\frac{10j}{100+j} \right]+\left[ \frac{10j}{100+j} \right]$ 。所求的值 $n=100+j$ 必须满足 $100j9\left(100+j \right)$，所以 $j\leqslant 9$ 。可以验证 $f\left( 109 \right)=300$，所以答案为109。
所以在序列中值至少为3的项的个数为 $91+\left[ \frac{10j}{100+j} \right]$ 。同样，值至少为4的项的个数为 $1+\left[ \frac{10j}{100+j} \right]$ 。这说明 $f\left( 100+j \right)=200+91+1+\left[\frac{10j}{100+j} \right]+\left[ \frac{10j}{100+j} \right]$ 。所求的值 $n=100+j$ 必须满足 $100j9\left(100+j \right)$，所以 $j\leqslant 9$ 。可以验证 $f\left( 109 \right)=300$，所以答案为109。
答案
解析
备注
