设 $K$ 为所有的 $\left( b-a \right)$（这些值不一定相异）之积，其中正整数 $a$，$b$ 满足 $1\leqslant ab\leqslant 20$ 。求出最大的正整数 $n$ 使得 ${{2}^{n}}$ 整除 $K$ 。
【难度】
【出处】
2010年第28届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
150
【解析】
在乘积 $K$ 中包含有 $ 19$ 个 $ 1(2-1,3-2,…,20-19)$，$ 18$ 个 $ 2(3-1,4-2,…,20-18)$，以此类推。所以 $K={{1}^{19}}\times {{2}^{18}}\times {{3}^{17}}\times {{4}^{16}}\times\ldots \times {{19}^{1}}$ 。在这个乘积中 $ 2$ 的次幂为
${{2}^{18}}\times {{4}^{16}}\times{{2}^{14}}\times {{8}^{12}}\times {{2}^{10}}\times {{4}^{8}}\times{{2}^{6}}\times {{16}^{4}}\times {{2}^{2}}$ 。因数2的个数为
$1\times18+2\times 16+1\times 14+3\times 12+1\times 10+2\times 8+1\times 6+4\times4+1\times 2=150$ 。
${{2}^{18}}\times {{4}^{16}}\times{{2}^{14}}\times {{8}^{12}}\times {{2}^{10}}\times {{4}^{8}}\times{{2}^{6}}\times {{16}^{4}}\times {{2}^{2}}$ 。因数2的个数为
$1\times18+2\times 16+1\times 14+3\times 12+1\times 10+2\times 8+1\times 6+4\times4+1\times 2=150$ 。
答案
解析
备注
