设 $MN=1$ 是圆的直径，$A$，$B$ 是此圆半圆弧上的两点且 $A$ 是该半圆弧的中点，$MB=\frac{3}{5}$．点 $C$ 位于另一半圆弧上．设直径 $MN$ 与弦 $AC$，$BC$ 的交点间的线段长为 $d$．若 $d$ 这的最大值可以写为 $r-s\sqrt{t}$ 的形式，其中 $r s t$ 是正整数且 $t$ 不被任何素数的平女整除，求 $r+s+t$．
【难度】
【出处】
2009年第27届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
14
【解析】
用 $\left[ XYZ \right]$ 表示 $\vartriangle XYZ$ 的面积．如图所示，设 $BC$，$AC$ 分别与 $MN$ 交于点 $P$，$Q$，$\frac{CM}{Cn}=x$，则 $\frac{MP}{NP}=\frac{\left[ BMC \right]}{\left[ BNC\right]}=\frac{BM\cdot CM\cdot \sin \angle BMC}{BN\cdot CN\cdot \sin \angle BNC}=\frac{3x}{4}$．因 $NP=1-MP$，故 $MP=\frac{3x}{3x+4}$．同理，$\frac{MQ}{NQ}=\frac{\left[ AMC \right]}{\left[ ANC\right]}=\frac{AM\cdot CM\cdot \sin \angle AMC}{AN\cdot CN\cdot \sin \angle ANC}=x$，可得 $MQ=\frac{x}{x+1}$．而 $MQ-MP=d$，于是 $\frac{x}{x+1}-\frac{3x}{3x+4}=d$，整理得 $3d{{x}^{2}}+\left(7d-1 \right)x+4d=0$．因该方程的判别式非负，故 ${{d}^{2}}-14d+1\geqslant 0$，又 $0d1$，故 $d$ 的最大值为 $7-4\sqrt{3}$，于是 $r+s+t=14$．
答案
解析
备注
