Dave抵达一个机场，该机场有 $12$ 个安检门，它们排成一条直线，相邻的两个安检门的间距都是100英尺。他的安检门是随机指派的。在某个安检门等待一会之后，Dave被告知他的安检门已更换，新的安检门也是随机指派的。设Dave步行到新的安检门的路程小于或等于400英尺的概率是 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数，求 $m+n$ 的值。
【难度】
【出处】
2010年第28届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
52
【解析】
开始的安检门是 $i$ 的事件记为 ${{D}_{i}}$，新的安检门是 $i$ 的事件记为 ${{N}_{i}}$，则 $P$（距离 $\leqslant 400$ 英尺）
$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{4}{P\left({{D}_{i}} \right)}P\left( {{N}_{i}}{{N}_{i+4}} {{N}_{i}}\right)+\sum\limits_{i=5}^{8}{P\left( {{D}_{i}} \right)}P\left({{N}_{i-4}}{{N}_{i+4}} {{N}_{i}} \right)+\sum\limits_{i=9}^{12}{P}\left({{D}_{i}} \right)P\left( {{N}_{i-4}}{{N}_{12}} {{N}_{i}} \right)$ $=2\times\frac{1}{12}\left( \frac{4}{11}+\frac{5}{11}+\frac{6}{11}+\frac{7}{11}\right)+\frac{1}{12}\left( 4\times \frac{8}{11}\right)=\frac{11}{33}+\frac{8}{33}=\frac{19}{33}$
所以 $m+n=52$ 。
$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{4}{P\left({{D}_{i}} \right)}P\left( {{N}_{i}}{{N}_{i+4}} {{N}_{i}}\right)+\sum\limits_{i=5}^{8}{P\left( {{D}_{i}} \right)}P\left({{N}_{i-4}}{{N}_{i+4}} {{N}_{i}} \right)+\sum\limits_{i=9}^{12}{P}\left({{D}_{i}} \right)P\left( {{N}_{i-4}}{{N}_{12}} {{N}_{i}} \right)$ $=2\times\frac{1}{12}\left( \frac{4}{11}+\frac{5}{11}+\frac{6}{11}+\frac{7}{11}\right)+\frac{1}{12}\left( 4\times \frac{8}{11}\right)=\frac{11}{33}+\frac{8}{33}=\frac{19}{33}$
所以 $m+n=52$ 。
答案
解析
备注
