实系数二次多项式 $P\left( x \right)$ 满足对所有的实数 $x$，都有
${{x}^{2}}-2x+2\leqslant P\left( x \right)\leqslant 2{{x}^{2}}-4x+3$
已知 $P\left( 11 \right)=181$ 。求 $P\left( 16 \right)$ 的值。
${{x}^{2}}-2x+2\leqslant P\left( x \right)\leqslant 2{{x}^{2}}-4x+3$
已知 $P\left( 11 \right)=181$ 。求 $P\left( 16 \right)$ 的值。
【难度】
【出处】
2010年第28届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
406
【解析】
配方得到
${{\left( x-1\right)}^{2}}+1\leqslant P\left( x \right)\leqslant 2{{\left( x-1 \right)}^{2}}+1$ 。
左边和右边的表达式所表示的抛物线的顶点都为 $\left( 1 1 \right)$，所以 $P\left( x \right)$ 所表示的抛物线的顶点也为 $\left( 1 ,1 \right)$ 。设 $P\left(x \right)=a{{\left( x-1 \right)}^{2}}+1$，因此 $p\left( 11 \right)=100a+1=181$，所以 $a=\frac{9}{5}$ 。从而 $P\left(x \right)=\frac{9}{5}{{\left( x-1 \right)}^{2}}+1$，$P\left(16 \right)=406$ 。
${{\left( x-1\right)}^{2}}+1\leqslant P\left( x \right)\leqslant 2{{\left( x-1 \right)}^{2}}+1$ 。
左边和右边的表达式所表示的抛物线的顶点都为 $\left( 1 1 \right)$，所以 $P\left( x \right)$ 所表示的抛物线的顶点也为 $\left( 1 ,1 \right)$ 。设 $P\left(x \right)=a{{\left( x-1 \right)}^{2}}+1$，因此 $p\left( 11 \right)=100a+1=181$，所以 $a=\frac{9}{5}$ 。从而 $P\left(x \right)=\frac{9}{5}{{\left( x-1 \right)}^{2}}+1$，$P\left(16 \right)=406$ 。
答案
解析
备注
