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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20658 5c7769a3210b284290fc25e7 高中 解答题 自招竞赛 设 $N$ 为具有如下性质的有序对 $\left( A ,B \right)$ 的个数，其中 $A$，$B$ 为非空集合：
（1）$A\bigcup B=\left\{ 1 ,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ,11 ,12 \right\}$；
（2）$A\bigcap B=\varnothing $
（3）$A$ 的元素的个数不是 $A$ 的元素；
（4）$B$ 的元素的个数不是 $B$ 的元素。
求 $N$ 的值。		 2022-04-17 20:49:01
20657 5c7769a9210b28428f14cee9 高中 解答题 自招竞赛 已知点 $G H I J L K$ 分别是正六边形 $ABCDEF$ 的边 $AB$，$BC$，$CD$，$DE$，$EF$，$FA$ 的中点。线段 $AH$，$BI$，$CJ$，$DK$，$EL$，$FG$ 围成一个小正六边形。小正六边形与大正六边形的面积之比为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数，求 $m+n$ 的值。 2022-04-17 20:49:01
20656 5c7769af210b284290fc25ee 高中 解答题 自招竞赛 求出满足如下条件的整系数二次多项式 $f\left( x \right)$ 的个数；$f\left( x \right)$ 的所有根均为整数且 $f\left( 0 \right)=2010$ 。 2022-04-17 20:48:01
20655 5c7769b4210b284290fc25f4 高中 解答题 自招竞赛 我们把具有如下性质的 $3\times 3$ 矩阵定义为“T-网格”：
（1）只有五个元素是1，其余的四个元素是0；
（2）三行、三列、两条主对角线（主对角线是 $\left\{ {{a}_{13}} ,{{a}_{22}}, {{a}_{31}} \right\}$ 和 $\left\{ {{a}_{11}}, {{a}_{22}}, {{a}_{33}} \right\}$）共八条线上至多只有一条线上的三个数是相等的。
求不同的“T-网格”的个数。		 2022-04-17 20:47:01
20654 5c7769ba210b284290fc25f9 高中 解答题 自招竞赛 两个不全等的等腰三角形的各边长度都为整数，且它们的面积相等，周长也相等。这两个三角形的底边长度之比为 $8:7$，求它们共同的周长的最小值。 2022-04-17 20:46:01
20653 5c7769c0210b28428f14ceef 高中 解答题 自招竞赛 一副纸牌有52张，分别编号为1，2，3，…，52。 $A$，$B$，$C$，$D$ 四个人每人从中抽出一张，不放回。每张纸牌被抽到的可能性是相同的。抽到编号较小的两人为一个组，抽到编号较大的两个人为另一组。已知 $A$ 抽到编号为 $a$，$a+9$ 的两张纸牌中的一张，而 $D$ 抽到这两张纸牌中的另一张，设 $A$，$D$ 两个人在同一组的概率为 $p\left( a \right)$ 。当 $p\left( a \right)\geqslant \frac{1}{2}$ 时，$p\left( a \right)$ 的最小值为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数。求 $m+n$ 的值。 2022-04-17 20:46:01
20652 5c7769c8210b284290fc2600 高中 解答题 自招竞赛 在 $\text{Rt}\vartriangle ABC$ 中，$\angle ACB={{90}^{\circ }}$，$\angle BAC{{45}^{\circ }}$，$AB=4$ 。点 $P$ 在边 $AB$ 上，使得 $\angle APC=2\angle ACP$，$CP=1$ 。 $\frac{AP}{BP}$ 可以表示成 $p+q\sqrt{r}$，其中，$p$，$q$，$r$ 是正整数，且 $r$ 不能被任何素数的平方整除。求 $p+q+r$ 的值。 2022-04-17 20:45:01
20651 5c7769cd210b284290fc2605 高中 解答题 自招竞赛 在 $\vartriangle ABC$ 中，$AC=13$，$BC=14$，$AB=15$ 。点 $M$，$D$ 在边 $AC$ 上，使得 $AM=MC$，$\angle ABD=\angle DBC$ 。点 $N$，$E$ 在边 $AB$ 上，使得 $AN=NB$，$\angle ACE=\angle ECB$ 。设 $P$ 是 $\vartriangle AMN$ 的外接圆与 $\vartriangle ADE$ 的外接圆的另一个交点。射线 $AP$ 交 $BC$ 于点 $Q$ 。 $\frac{BQ}{CQ}=\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数。求 $m-n$ 的值。 2022-04-17 20:45:01
20650 5927923b74a309000798cde6 高中 解答题 高考真题 已知函数 $f\left( x \right) = {x^3}$，$g\left( x \right) = x + \sqrt x $． 2022-04-17 20:44:01
20649 592792d974a309000997fc25 高中 解答题 高考真题 已知函数 $ f\left(x\right)=\ln x-x+1 $，$ x\in \left(0,+\infty \right) $，求函数 $ f\left(x\right) $ 的最大值； 2022-04-17 20:43:01
20648 5927931d74a309000798cdf1 高中 解答题 高考真题 设函数 $f\left(x\right) = \ln \left(1 + x\right) - \dfrac{2x}{x + 2}$，证明：当 $x>0$ 时，$f\left(x\right)>0$； 2022-04-17 20:43:01
20647 59279fbb74a309000997fc37 高中 解答题 高考真题 对于各项均为正数且各有 $m$ 项的数列 $\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$，按如下方法定义数列 $\{t_{n}\}:t_{0}=0$，$t_{n}=\begin{cases}t_{n-1}-a_{n}+b_{n},t_{n-1}\geqslant a_{n}\\ b_{n},t_{n-1}<a_{n}\end{cases},(n=1,2,\cdots,m)$，并规定数列 $\{a_{n}\}$ 到 $\{b_{n}\}$ 的“并和”为 $S_{ab}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{m}+t_{m}$． 2022-04-17 20:42:01
20646 5927a1ee74a309000798ce00 高中 解答题 高考真题 设 $m>3$，对于有穷数列 $\{a_{n}\}(n=1,2,\cdots,m)$，令 $b_{k}$ 为 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{k}$ 中的最大值，称数列 $\{b_{n}\}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的“创新数列”，数列 $\{b_{n}\}$ 中不相等项的个数称为 $\{a_{n}\}$ 的“创新阶数”．例如数列 $2,1,3,7,5$ 的创新数列为 $2,2,3,7,7$，创新阶数为 $3$．
考查自然数 $1,2,\cdots,m(m>3)$ 的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列 $\{c_{n}\}$．		 2022-04-17 20:41:01
20645 5927a23674a309000813f69e 高中 解答题 高考真题 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 和为 $S_{n}\}$，且 $\dfrac{S_{n}}{a_{n}}=\dfrac{1}{2}a_{n+1}(n\in\mathbb N^{*})$，其中 $a_{1}=1$，$a_{n}\ne 0$． 2022-04-17 20:41:01
20644 5927a43174a309000813f6a1 高中 解答题 高考真题 设 $x_{1},x_{2}$ 是 $f(x)=\dfrac{a}{3}x^{3}+\dfrac{b-1}{2}x^{2}+x(a,b\in\mathbb R,a>0)$ 的两个极值点，$f'(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数． 2022-04-17 20:40:01
20643 5c89e50f210b286d074540e1 高中 解答题 高中习题 五边形 $ABCDE$ 内接于圆 $O$，$AD=BC=AE$，$BE,CD$ 的中点分别为 $M,N$，$\triangle AMN$ 的重心为 $G$，$CE$ 与 $BD$ 交于点 $P$，$H$ 为 $\triangle AED$ 垂心，设 $OG$ 与 $PH$ 交于 $T$，求证：$AT \perp BC.$  2022-04-17 20:39:01
20642 5c8a07c5210b286d074540e7 高中 解答题 高中习题 是否存在无穷多个 $2n$ 元正整数集合 ${a_{1},a_{2},\cdots,a_{n},b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}}$（$n\geqslant0$），令 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$ 成等差数列，$b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}$ 成等差数列，且令 $\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n},b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right)=1$，且 $a_{1}a_{2}\cdots a_{n}=b_{1}b_{2}\cdots b_{n}$． 2022-04-17 20:39:01
20641 5c8a0a2e210b286d125ef26d 高中 解答题 高中习题 $N_{1},N_{2},\cdots ,N_{n}$ 为单位圆周上 $n$ 个定点，$P$ 为单位圆周上一动点，问（1）对怎样的 $n$，存在这样一组 $\left(N_{1},N_{2},\cdots \N_{n}\right)$，令 $|PN_{1}|^{2018}+|PN_{2}|^{2018}+\cdots +|PN_{n}|$ 为定值；（2）对怎样的 $n$，存在这样的一组 $\left(N_{1},N_{2},\cdots \N_{n}\right)$ 令 2022-04-17 20:38:01
20640 5c8a14b2210b286d125ef273 高中 解答题 高中习题 对于无穷正整数数列 ${a_{n}}$，它满足对 $\forall m\not=n,m,n\in\mathbb{N}^{*}$，$\left(m,n\right)|a_{m}^2+a_{n}^2$ 且 $\left(a_{m},a_{n}\right)|m^2+n^2$．如果存在一个这样的无穷数列．且令 $a_{k}=t$，则我们称 $t$ 为 $"k-good"$，问是否存在这样某个 $k\in\mathbb{N}^{*}$ 令 $"k-good"$ 的正整数恰有 $2019$ 个． 2022-04-17 20:38:01
20639 5c8a1d32210b286d074540f2 高中 解答题 高中习题 求所有函数 $f:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{Q}$，对 $\forall x,y\in\mathbb{Q}$，令$$4f\left(x\right)f\left(y\right)+\dfrac{1}{2}=f\left(2xy+\dfrac{1}{2}\right)+f\left(x-y\right).$$ 2022-04-17 20:37:01
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