设 $R$ 为坐标平面内同时满足 $\left| 8-x \right|+y\leqslant 10$ 和 $3y-x\geqslant 15$ 的点所组成的区域。 $R$ 绕直线 $3y-x=15$ 旋转一周所得的几何体的体积是 $\frac{m\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{n\sqrt{p}}$，其中 $m$，$n$，$p$ 是正整数，且 $m$ 与 $n$ 互素，$p$ 不能被任何素数的平方整除，求 $m+n+p$ 的值。
【难度】
【出处】
2010年第28届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
365
【解析】
区域 $R$ 是由直线 $3y-x=15$，$y=x+2$ 和 $y=-x+18$ 围成的三角形区域。
这个三角形的顶点分别为 $A=\left( \frac{9}{2} \frac{13}{2} \right)$，$B=\left(\frac{39}{4} \frac{33}{4} \right)$ 和 $C=\left( 8 10 \right)$ 。过点 $C$ 作 $CD\bot AB$，垂足为 $D$ 。容易求得点 $D$ 的坐标为 $\left( 8.7 7.9 \right)$，从而 $D$ 在 $A$ 和 $B$ 之间。所以旋转得到的几何体是由两个直圆锥组成，它们的底面的半径都为 $CD$，其中一个的高为 $AD$，另一个的高为 $BD$ 。所求的体积为 $\frac{1}{3}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\cdot C{{D}^{2}}\cdot AD+\frac{1}{3}\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }\cdot C{{D}^{2}}\cdot BD=\frac{1}{3}\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }\cdot C{{D}^{2}}\cdot AB$ 注意到
$AB=\sqrt{{{\left(\frac{21}{4} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{7}{4}\right)}^{2}}}=\frac{7}{4}\sqrt{{{3}^{2}}+{{1}^{2}}}=\frac{7\sqrt{10}}{4}$，
$CD=\sqrt{{{\left( 8-8.7\right)}^{2}}+{{\left( 10-7.9 \right)}^{2}}}=\frac{7}{\sqrt{10}}$ 。
所以 $\frac{m\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{n\sqrt{p}}=\frac{1}{3}\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }\cdot \frac{49}{10}\cdot\frac{7\sqrt{10}}{4}=\frac{343\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{12\sqrt{10}}$，$m+n+p=343+12+10=365$ 。
这个三角形的顶点分别为 $A=\left( \frac{9}{2} \frac{13}{2} \right)$，$B=\left(\frac{39}{4} \frac{33}{4} \right)$ 和 $C=\left( 8 10 \right)$ 。过点 $C$ 作 $CD\bot AB$，垂足为 $D$ 。容易求得点 $D$ 的坐标为 $\left( 8.7 7.9 \right)$，从而 $D$ 在 $A$ 和 $B$ 之间。所以旋转得到的几何体是由两个直圆锥组成，它们的底面的半径都为 $CD$，其中一个的高为 $AD$，另一个的高为 $BD$ 。所求的体积为 $\frac{1}{3}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\cdot C{{D}^{2}}\cdot AD+\frac{1}{3}\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }\cdot C{{D}^{2}}\cdot BD=\frac{1}{3}\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }\cdot C{{D}^{2}}\cdot AB$ 注意到
$AB=\sqrt{{{\left(\frac{21}{4} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{7}{4}\right)}^{2}}}=\frac{7}{4}\sqrt{{{3}^{2}}+{{1}^{2}}}=\frac{7\sqrt{10}}{4}$，
$CD=\sqrt{{{\left( 8-8.7\right)}^{2}}+{{\left( 10-7.9 \right)}^{2}}}=\frac{7}{\sqrt{10}}$ 。
所以 $\frac{m\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{n\sqrt{p}}=\frac{1}{3}\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }\cdot \frac{49}{10}\cdot\frac{7\sqrt{10}}{4}=\frac{343\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{12\sqrt{10}}$，$m+n+p=343+12+10=365$ 。
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解析
备注
