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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20738 5c75ffd1210b284290fc24d2 高中 解答题 自招竞赛 某数学学会发行一套纪念牌，每块纪念牌上包含由 $5$ 个符号组成的数列，这 $5$ 个符号选自AIME中的字母和 $2007$ 中的数码，且同一个符号在数列中出现的次数不超过它在“$\text{AIME}2007$”中出现的次数。这套纪念牌共包含 $N$ 块，每种可能出现的数列恰出现一次。试求 $\frac{N}{10}$ 。 2022-04-17 20:34:02
20737 5c75ffd8210b284290fc24d7 高中 解答题 自招竞赛 试求有以下性质的有序三元数组 $\left( a ,b ,c \right)$ 的个数，其中 $a$，$b$，$c$ 是正整数，$a$ 是 $b$，$c$ 的因数，且 $a+b+c=100$ 。 2022-04-17 20:34:02
20736 5c75ffe1210b284290fc24dc 高中 解答题 自招竞赛 正方形 $ABCD$ 的边长为 $13$，点 $E$，$F$ 是正方形外两点，$BE=DF=5$，$AE=CF=12$ 。试求 $E{{F}^{2}}$ 。 2022-04-17 20:33:02
20735 5c75ffea210b28428f14cd3f 高中 解答题 自招竞赛 工厂的工人要生产元件和器件，对于同一种产品，不同的工人生产所需时间是相同的且为常量，但对于不同产品，工人所需的时间也不同。 $100$ 名工人在一小时内可生产 $300$ 个元件和 $200$ 器件。 $60$ 名工人在两小时内可生产 $240$ 个元件和 $300$ 个器件。设 $50$ 名工人在三小时可生产 $150$ 元件和 $m$ 个器件，试求 $m$ 。 2022-04-17 20:32:02
20734 5c75fff1210b284290fc24e2 高中 解答题 自招竞赛 方程 $9x+223y=2007$ 的图像画在方格纸上，方格纸上的每个小方格称为一个单元格，在第一象限有多少个单元格完全在图像的下方？ 2022-04-17 20:32:02
20733 5c760004210b28428f14cd4a 高中 解答题 自招竞赛 对于实数 $x$，令 $\left\lfloor x \right\rfloor $ 表示小于或等于 $x$ 的最大整数。对于某个整数 $k$，恰有 $70$ 个能被 $k$ 整除的正整数 ${{n}_{1}}$，${{n}_{2}}$，…，${{n}_{70}}$，使得 $k=\left\lfloor {}^{3}\sqrt{{{n}_{1}}} \right\rfloor =\left\lfloor {}^{3}\sqrt{{{n}_{2}}} \right\rfloor =\ldots \left\lfloor {}^{3}\sqrt{{{n}_{70}}} \right\rfloor $ 。求 $\frac{{{n}_{i}}}{k}$ 的最大值 $\left( 1\leqslant i\leqslant 70 \right)$ 。 2022-04-17 20:32:02
20732 5c76000c210b28428f14cd4f 高中 解答题 自招竞赛 一张矩形纸片长 $4$ 个单元宽 $5$ 个单位。在纸片上画了若干条与边长平行的直线，由这些直线的交点组成的满足下面两个条件的矩形称为单位矩形：
（1）该矩形的四条边都是直线相交所截的线段；
（2）该矩形的内部没有其他线段。
已知所画直线在纸片上的总长度为 $2007$ 个单位，设 $N$ 为得到单位矩形数目的最大值，试求 $N$ 除以 $1000$ 的余数。		 2022-04-17 20:31:02
20731 5c760012210b284290fc24e9 高中 解答题 自招竞赛 给定矩形 $ABCD$，$AB=63$，$BC=448$ 。点 $E$，$F$ 分别在 $AD$，$BC$ 边上，使得 $AE=CF=84$ 。 $\vartriangle BEF$ 的内接圆与 $EF$ 相切与点 $P$，$\vartriangle DEF$ 的内接圆与 $EF$ 相切与点 $Q$ 。试求 $PQ$ 的长度。 2022-04-17 20:30:02
20730 5c760024210b28428f14cd55 高中 解答题 自招竞赛 两根长圆柱管平行摆放在平面上，这两根圆柱管长度相同，但底面直径不同，大圆柱管底面半径为 $72$，沿平面向小圆柱管的方向滚动，小圆柱管底面半径为 $24$，大圆柱管滚过小圆柱管并贴在小圆柱管表面继续向前滚动，最后停止运动时，大圆柱管停在与出发时圆周同一点处，并完成了自身的一周转动。若小圆柱管自身不滚动（也不移动），大圆柱管滚动过程中不发生滑动，那么大圆柱管的起点和终点相距 $x$ 。 $x$ 可表示为 $a\pi +b\sqrt{c}$ 的形式，其中 $a$，$b$，$c$ 整数，$c$ 不能被任何素数的平方整除。试求 $a+b+c$ 。 2022-04-17 20:30:02
20729 5c76002d210b28428f14cd5a 高中 解答题 自招竞赛 数列 ${{x}_{0}}$，${{x}_{1}}$，${{x}_{2}}$，…为递增的等比数列，且每一项都是 $3$ 的整数次幂，已知
$\displaystyle \sum\limits_{n=0}^{7}{\log \left( {{x}_{n}} \right)}=308$，$\displaystyle 56\leqslant {{\log }_{3}}\left( \sum\limits_{n=0}^{7}{{{x}_{n}}} \right)\leqslant 57$，
试求 ${{\log }_{3}}\left( {{x}_{14}} \right)$ 。		 2022-04-17 20:29:02
20728 5c760039210b28428f14cd65 高中 解答题 自招竞赛 设 $f\left( x \right)$ 为实系数多项式 $f\left( 0 \right)=1 ,f\left( 2 \right)+f\left( 3 \right)=125$，且对于任意 $x$，都有 $f\left( x \right)f\left( 2{{x}^{2}} \right)=f\left( 2{{x}^{3}}+x \right)$ 。试求 $f\left( 5 \right)$ 。 2022-04-17 20:29:02
20727 5c760040210b28428f14cd6a 高中 解答题 自招竞赛 在 $\vartriangle ABC$ 的内部有四个半径相同的圆 $w$，${{w}_{A}}$，${{w}_{B}}$，${{w}_{C}}$，其中 ${{w}_{A}}$ 与边 $AB$，$AC$ 相切，${{w}_{B}}$ 与边 $BC$，$BA$ 相切，${{w}_{C}}$ 与边 $CA$，$CA$ 相切，$w$ 与，${{w}_{A}}$，${{w}_{B}}$，${{w}_{C}}$ 均外切。 $\vartriangle ABC$ 的三边长分别为 $13$，$14$，$15$ 。若 $w$ 的半径可表示为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 为互素的正整数。试求 $m+n$ 。 2022-04-17 20:29:02
20726 5c761a48210b28428f14cd79 高中 解答题 自招竞赛 在参加学校聚会的学生中有 $60%$ 是女生，有 $40%$ 的学生喜欢跳舞．随后又来了 $20$ 名喜欢跳舞的男生，这时聚会的人中有 $58%$ 是女生．那么现在聚会的人中有多少人喜欢跳舞？ 2022-04-17 20:28:02
20725 5c761a53210b28428f14cd7f 高中 解答题 自招竞赛 正方形 $AIME$ 的边长为 $10$，等腰 $\vartriangle GEM$ 的底是 $EM$．若 $\vartriangle GEM$ 与正方形 $AIME$ 的公共部分的面积为 $80$，求 $\vartriangle GEM$ 的底边 $EM$ 上的高． 2022-04-17 20:27:02
20724 5c761a5d210b28428f14cd85 高中 解答题 自招竞赛 艾德和苏骑自行车的速度相等且恒定，他们慢跑的速度也是相等且恒定，他们游泳的速度也是相等且恒定，艾德在骑车2小时、慢跑3小时、游泳4小时后共行74千米，苏在慢跑2小时、游泳3小时、骑车4小时后共行91千米．他们骑车、慢跑、游泳的速度都是以每小时整千米数行进．求艾德骑车、慢跑、游泳的速度的平方和． 2022-04-17 20:26:02
20723 5c761a66210b284290fc2501 高中 解答题 自招竞赛 已知存在唯一的正整数对（$x$，$y$）满足方程 ${{x}^{2}}+84x+2008={{y}^{2}}$，求 $x+y$． 2022-04-17 20:25:02
20722 5c761a6e210b28428f14cd8b 高中 解答题 自招竞赛 圆锥的底面圆半径为 $R$，高为 $h$．把此圆锥的侧面平放于桌面，并使它沿着桌面无滑动地滚动．当圆锥再次回到起点位置时正好滚动17周，这时圆锥的底面边沿在桌面上划过一个以圆锥顶点为圆心的圆．比值 $\frac{h}{r}$ 能写成 $m\sqrt{n}$ 的形式，其中 $m$，$n$ 是正整数且 $n$ 不能被任何质量的平方整数，求 $m+n$． 2022-04-17 20:25:02
20721 5c761a7a210b28428f14cd91 高中 解答题 自招竞赛 三角形数表中的第一行数字按照奇数1，3，5，…，99的递增顺序书写，在第一行下面的每一行比上一行少一个数字，最底部的一行只有一个数字．每行的相邻两个数字之和写在这两个数字中间的下一行的位置．这个数表中有多少个数是67的倍数？ 2022-04-17 20:25:02
20720 5c761a87210b284290fc2507 高中 解答题 自招竞赛 设 ${{S}_{i}}$ 是满足条件 $100i\leqslant n100\left( i+1 \right)$ 的所有整数 $n$ 的集合，如 ${{S}_{4}}=\left\{ 400 ,401 ,\ldots ,499 \right\}$．
在集合 ${{S}_{0}}$，${{S}_{1}}$，…，${{S}_{999}}$ 中有多少个不包含完全平方数？		 2022-04-17 20:24:02
20719 5c761a91210b284290fc250d 高中 解答题 自招竞赛 求出满足条件 $\arctan \frac{1}{3}+\arctan \frac{1}{4}+\arctan \frac{1}{5}+\arctan \frac{1}{n}=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}$ 的正整数 $n$． 2022-04-17 20:23:02
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