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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20878 5c6fa077210b28428f14c8ff 高中 解答题 自招竞赛 设 $\left( {{x}_{1}} {{y}_{1}} \right)$，$\left( {{x}_{2}} {{y}_{2}} \right)$ 是方程组 $\left\{ \begin{align}
& {{\log }_{225}}x+{{\log }_{64}}y=4 \\
& {{\log }_{x}}225+{{\log }_{y}}64=1. \\
\end{align} \right.$ 的解．求 ${{\log }_{30}}\left( {{x}_{1}}{{y}_{1}}{{x}_{2}}{{y}_{2}} \right)$ 的值．		 2022-04-17 20:52:03
20877 5c6fa080210b28428f14c904 高中 解答题 自招竞赛 二项展开式的幂可以不是整数．对于任意实数 $x$，$y$，$r$，若 $\left| x \right|>\left| y \right|$，则有
${{\left( x+y \right)}^{r}}={{x}^{r}}+r{{x}^{r-1}}y+\frac{r\left( r-1 \right)}{2!}{{x}^{r-2}}{{y}^{2}}+\frac{r\left( r-1 \right)\left( r-2 \right)}{3!}{{x}^{r-3}}{{y}^{3}}+\cdots $．
求 ${{\left( {{10}^{2002}}+1 \right)}^{\frac{10}{7}}}$ 小数点的后三位数是多少？		 2022-04-17 20:51:03
20876 5c6fa089210b284290fc213c 高中 解答题 自招竞赛 求最小的整数 $k$，使得至少有两个数列满足下列条件：
（1）${{a}_{1}}$，${{a}_{2}}$，${{a}_{3}}$，…是不减的正整数数列；
（2）${{a}_{n}}={{a}_{n-1}}+{{a}_{n-2}}$，$n>2$；
（3）${{a}_{9}}=k$．		 2022-04-17 20:51:03
20875 5c6fa091210b28428f14c90a 高中 解答题 自招竞赛 哈罗德、坦尼亚和尤利西斯给一条长栅栏涂漆．哈罗德从第一根开始徐漆，每隔 $h$ 根栅栏涂一个；坦尼亚从第二根开始涂漆，每隔 $t$ 根栅栏涂一个；尤利西斯从第三根开始涂漆，每隔 $u$ 根栅栏涂一个．若正整数数组 $\left( h ,t, u \right)$ 使得每根栅栏恰被涂一次漆，则称 $100h+10t+u$ 为可上漆数．求所有的可上漆数之和． 2022-04-17 20:50:03
20874 5c6fa098210b28428f14c90f 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，在直角三角形 $ABC$ 中，点 $D$ 在 $BC$ 边上，线段 $AD$ 平分 $\angle CAB$，点 $E$ 和点 $F$ 分别在 $AB$ 边和 $AC$ 边上，且 $AE=3$，$AF=10$．给定 $EB=9$，$FC=27$，求最接近四边形 $DCFG$ 面积的整数． 2022-04-17 20:50:03
20873 5c6fa0a1210b28428f14c914 高中 解答题 自招竞赛 11．设 $ABCD$，$BCFG$ 为正方体的两个面，$AB=12$．一束光从点 $A$ 射出，反射在面 $BCFG$ 上点 $P$ 处，其中 $P$ 到 $BG$，$BC$ 边的距离分别是7，5．光线继续反射到立方体的其他面上，在从点 $A$ 处离开直到下一次反射到正方体的某个顶点上的时间内，光线经过的路程长为 $m\sqrt{n}$，其中 $m$，$n$ 均为整数，$n$ 不能被任何素数的平均整除．求 $m+n$ 的值． 2022-04-17 20:49:03
20872 5c6fa0a9210b28428f14c919 高中 解答题 自招竞赛 对于所有满足 $z\ne \text{i}$ 的复数 $z$ 都有 $F\left( z \right)=\frac{z+\text{i}}{z-\text{i}}$．对于所有正整数 $n$ 有 ${{z}_{n}}=F\left( {{z}_{n-1}} \right)$．若 ${{z}_{0}}=\frac{1}{137}+\text{i}$，${{z}_{2002}}=a+b\text{i}$，其中 $a$，$b$ 为实数．求 $a+b$ 的值． 2022-04-17 20:48:03
20871 5c6fa0b1210b28428f14c91e 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，$\vartriangle ABC$ 中线 $AD$，$CE$ 的长分别为18，27，$AB=24$．延长 $CE$ 交 $\vartriangle ABC$ 的外接圆于点 $F$．$\vartriangle ABF$ 的面积等于 $m\sqrt{n}$，其中 $m$，$n$ 均为正整数，$n$ 不能被任何素数的平方整除．求 $m+n$ 的值． 2022-04-17 20:48:03
20870 5c6fa0b9210b28428f14c924 高中 解答题 自招竞赛 由不同的正整数组成的集合 $S$ 满足以下性质：对于 $S$ 中任意整数 $x$，$S$ 去掉 $x$ 后剩下元素的平均数为整数．若 $1\in S$，2002是 $S$ 中最大元素，那么 $S$ 中最多有多少个元素？ 2022-04-17 20:47:03
20869 5c6fa0c2210b28428f14c929 高中 解答题 自招竞赛 多面体 $ABCDEFG$ 有六个面，其中 $ABCD$ 是正方形，$AB=12$；$ABFG$ 为梯形，$AB\parallel GF$，$BF=AG=8$，$GF=6$；面 $CDE$ 中 $CE=DE=14$．另三个面分别是 $ADEG$，$BCEF$，$EFG$．点 $E$ 到 $ABCD$ 所在面的距离为12．给定 $E{{G}^{2}}=p-q\sqrt{r}$，其中 $p$，$q$，$r$ 均为正整数，$r$ 不能被任意素数的平方整除．求 $p+q+r$ 的值． 2022-04-17 20:46:03
20868 5c6fb635210b28428f14c93c 高中 解答题 自招竞赛 已知
（1）$x$，$y$ 均为100～999的数；
（2）$y$ 由 $x$ 的各位数字逆向排列得到；
（3）$z=\left| x-y \right|$．
试问 $z$ 有多少个不同的可能取值？		 2022-04-17 20:45:03
20867 5c6fb63b210b28428f14c942 高中 解答题 自招竞赛 一正方体上三个顶点分别为 $P=\left( 7 ,12 ,10 \right)$，$Q=\left( 8 ,8 ,1 \right)$，$R=\left( 11, 3, 9 \right)$．试求这个正方体的表面积． 2022-04-17 20:45:03
20866 5c6fb642210b28428f14c948 高中 解答题 自招竞赛 给定 ${{\log }_{6}}a+{{\log }_{6}}b+{{\log }_{6}}c=6$，其中 $a$，$b$，$c$ 为正整数，且能组成递增的等比数列，$b-a$ 能表示为一个整数的平方，试求 $a+b+c$ 的值． 2022-04-17 20:44:03
20865 5c6fb649210b28428f14c94e 高中 解答题 自招竞赛 在庭院中建造花园时，通常在花园周围的边界上铺上 $n$ 块1单位的正六边形砖块，边连着边铺出花园的轮廓．如图是当 $n=5$ 时，花园周围的砖块走道示意图．
当 $n=202$，砖块走道围成的花园面积（不包含走道面积）为 $m\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$ 平方单位，其中 $m$ 为正整数，试求 $m$ 被1000整除的余数．		 2022-04-17 20:44:03
20864 5c6fb64f210b28428f14c954 高中 解答题 自招竞赛 设 $a={{2}^{n}}{{3}^{n}}$，$m$，$n$ 为非负整数，则使得 ${{a}^{6}}$ 不是 ${{6}^{a}}$ 的因数的所有正整数 $a$ 的和是多少？ 2022-04-17 20:43:03
20863 5c6fb65e210b28428f14c95f 高中 解答题 自招竞赛 对于所有正整数 $k$，恒有 ${{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+\cdots +{{k}^{2}}=\frac{k\left( k+1 \right)\left( 2k+1 \right)}{6}$．
试求最小正整数 $k$，使得 ${{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+\cdots +{{k}^{2}}$ 是200的倍数．		 2022-04-17 20:42:03
20862 5c6fb663210b28428f14c964 高中 解答题 自招竞赛 试求最小正整数 $k$，使得关于 $n$ 的方程 $\left[ \frac{2002}{n} \right]=k$ 无整数解．（符号 $\left[ x \right]$ 表示小于或等于 $x$ 的最大整数．） 2022-04-17 20:42:03
20861 5c6fb66a210b28428f14c96a 高中 解答题 自招竞赛 用 $S$ 表示集合 $\left\{ 1,2,3,\cdots,10 \right\}$．设 $n$ 为 $S$ 中非空互斥子集的对数．（互斥集合定义为没有共同元素的两个集合．）试求 $n$ 被1000整除所得的余数． 2022-04-17 20:41:03
20860 5c6fb670210b28428f14c96f 高中 解答题 自招竞赛 一位教授心不在焉地计算某个角的正弦值，他没有注意到，计算器在使用前并没有设定正确的角度制，但他还是幸运地得到正确解．已知使得 $x$ 度的正弦值等于 $x$ 弧度的正弦值的正实数 $x$ 的两个最小值分别为 $\frac{m\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{n-\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}$，$\frac{p\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{q+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}$，其中 $m$，$n$，$p$，$q$ 均为正整数．试求 $m+n+p+q$ 的值． 2022-04-17 20:40:03
20859 5c6fb67e210b28428f14c97b 高中 解答题 自招竞赛 一个篮球选手每次投篮的命中率均为一个常数 $0.4$，与之前的投篮无关．设 ${{a}_{n}}$ 为 $n$ 次投篮后的命中率（进球数与 $n$ 的比值），则出现 ${{a}_{10}}=0.4$，且对于 $1\leqslant n\leqslant 9$，${{a}_{n}}\leqslant 0.4$ 的概率可表示为 $\frac{{{p}^{a}}{{q}^{b}}r}{{{s}^{c}}}$，$p$，$q$ $r$，$s$ 为素数，$a$，$b$，$c$ 为正整数．试求 $\left( p+q+r+s \right)\left( a+b+c \right)$ 的值． 2022-04-17 20:40:03
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