试求最小正整数 $k$，使得关于 $n$ 的方程 $\left[ \frac{2002}{n} \right]=k$ 无整数解．（符号 $\left[ x \right]$ 表示小于或等于 $x$ 的最大整数．）
【难度】
【出处】
2002年第20届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
49
【解析】
方程 $\left[ \frac{2002}{n} \right]=k$ 等价于 $k\leqslant\frac{2002}{n}<k+1$，即 $\frac{2002}{k+1}<n\leqslant \frac{2002}{k}$．
要使方程无解，那么在这个区间上没有整数，也就是说，$\frac{2002}{k+1}$，$\frac{2002}{k}$ 的整数部分相同，区间长度小于1，因此 $\frac{2002}{k}-\frac{2002}{k+1}<1$，得到 $k\left(k+1 \right)>2002$，因此 $k\geqslant 45$．当 $k=45$，46，47，48，49，50时，$\frac{2002}{k}$ 的整数部分分别等于44，43，42，41，40，40．因此 $\frac{2002}{49}$ 和 $\frac{2002}{50}$ 的整数部分相同，即最小正整数 $k$ 等于49．
要使方程无解，那么在这个区间上没有整数，也就是说，$\frac{2002}{k+1}$，$\frac{2002}{k}$ 的整数部分相同，区间长度小于1，因此 $\frac{2002}{k}-\frac{2002}{k+1}<1$，得到 $k\left(k+1 \right)>2002$，因此 $k\geqslant 45$．当 $k=45$，46，47，48，49，50时，$\frac{2002}{k}$ 的整数部分分别等于44，43，42，41，40，40．因此 $\frac{2002}{49}$ 和 $\frac{2002}{50}$ 的整数部分相同，即最小正整数 $k$ 等于49．
答案
解析
备注
