给定 ${{\log }_{6}}a+{{\log }_{6}}b+{{\log }_{6}}c=6$，其中 $a$，$b$，$c$ 为正整数，且能组成递增的等比数列，$b-a$ 能表示为一个整数的平方，试求 $a+b+c$ 的值．
【难度】
【出处】
2002年第20届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
111
【解析】
注意到 $6={{\log }_{6}}a+{{\log }_{6}}b+{{\log }_{6}}c={{\log }_{6}}abc$，因此 ${{6}^{6}}=abc={{b}^{3}}$，即 $b={{6}^{2}}$，$ac={{6}^{4}}$．因为 $a\ne b$，且 $b-a$ 可以表示为一个整数的平方，那么 $a$ 可能的值是11，20，27，32，35．在这些数中，只有27是 ${{6}^{4}}$ 的因数，因此，$a+b+c=27+36+48=111$．
答案
解析
备注
