设 $a={{2}^{n}}{{3}^{n}}$，$m$，$n$ 为非负整数，则使得 ${{a}^{6}}$ 不是 ${{6}^{a}}$ 的因数的所有正整数 $a$ 的和是多少？
【难度】
【出处】
2002年第20届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
42
【解析】
注意到 $\frac{{{6}^{a}}}{{{a}^{6}}}=\frac{{{2}^{a}}{{3}^{a}}}{{{2}^{6n}}{{3}^{6m}}}$ 不是整数，当且仅当 $6n>a$ 或 $6m>a$，即，当且仅当
$6\cdot\max \left( n m \right)>{{2}^{n}}{{3}^{m}}$．（1）
当 $m\geqslant 1$，$n\geqslant 1$ 时，满足式（1）的 $m$，$n$ 不存在．当 $m=0$ 时，式（1）化简为 ${{2}^{n}}<6n$，仅当 $n=1 ,2,3,4$ 时满足题意．当 $n=0$ 时，式（1）化简为 ${{3}^{m}}<6m$，仅当 $m=1,2$ 时满足题意．因此，使得 ${{a}^{6}}$ 不是 ${{6}^{a}}$ 因数的正整数 $a$ 有六个值，分别是 $2,4,8,16,3,9,$ 因此所求的和为 $42$．
$6\cdot\max \left( n m \right)>{{2}^{n}}{{3}^{m}}$．（1）
当 $m\geqslant 1$，$n\geqslant 1$ 时，满足式（1）的 $m$，$n$ 不存在．当 $m=0$ 时，式（1）化简为 ${{2}^{n}}<6n$，仅当 $n=1 ,2,3,4$ 时满足题意．当 $n=0$ 时，式（1）化简为 ${{3}^{m}}<6m$，仅当 $m=1,2$ 时满足题意．因此，使得 ${{a}^{6}}$ 不是 ${{6}^{a}}$ 因数的正整数 $a$ 有六个值，分别是 $2,4,8,16,3,9,$ 因此所求的和为 $42$．
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