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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20918 5c78e92e210b284290fc2658 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\frac{1}{2!17!}+\frac{1}{3!16!}+\frac{1}{4!15!}+\frac{1}{5!14!}+\frac{1}{6!13!}+\frac{1}{7!12!}+\frac{1}{8!11!}+\frac{1}{9!10!}=\frac{N}{1!18!}$．
求出小于 $\frac{N}{100}$ 的最大整数．		 2022-04-17 20:12:04
20917 5c78e933210b284290fc265e 高中 解答题 自招竞赛 在梯形 $ABCD$ 中，腰 $BC$ 与底边 $AB$ 及 $CD$ 垂直，对角线 $AC$ 与 $BD$ 互相垂直．已知 $AB=\sqrt{11}$，$AD=\sqrt{1001}$，求 $B{{C}^{2}}$． 2022-04-17 20:11:04
20916 5c78e938210b284290fc2663 高中 解答题 自招竞赛 已知复数 $z$ 满足 $z+\frac{1}{z}=2\cos 3{}^\circ $，求大于 ${{2}^{2000}}+\frac{1}{{{z}^{2000}}}$ 的最小整数． 2022-04-17 20:10:04
20915 5c78e93d210b284290fc2669 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，一个圆内切四边形 $ABCD$，与 $AB$，$CD$ 分别切于点 $P$，$Q$．已知 $AP=19$，$PB=26$，$CQ=37$，$QD=23$，求这个圆的半径的平方． 2022-04-17 20:10:04
20914 5c78e942210b28428f14cf91 高中 解答题 自招竞赛 等腰梯形 $ABCD$ 的每个顶点的横纵坐标均为整数，点 $A$ 的坐标为 $\left( 20 ,100 \right)$，点 $D$ 的坐标为 $\left( 21 ,107 \right)$．这个梯形没有任何一条边平行于坐标轴，$AB$ 和 $CD$ 是两底．设边 $AB$ 的斜率的所有可能值之和的绝对值为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是互素的正整数．求 $m+n$． 2022-04-17 20:09:04
20913 5c78e949210b28428f14cf96 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，点 $A$，$B$，$C$ 在以点 $O$ 为球心，20为半径的球面上．已知 $AB=13$，$BC=14$，$CA=15$，点 $O$ 到三角形 $ABC$ 所在平面的距离为 $\frac{m\sqrt{n}}{k}$，其中 $m$，$n$，$k$ 是正整数，$m$ 与 $k$ 互素，$n$ 不能被任何素数的平方整除．求 $m+n+k$． 2022-04-17 20:09:04
20912 5c78e94f210b28428f14cf9c 高中 解答题 自招竞赛 方程 $2000{{x}^{6}}+10{{x}^{5}}+10{{x}^{3}}+x-2=0$ 恰有两个根，其中一个是 $\frac{m+\sqrt{n}}{r}$，这里 $m$，$n$，$r$ 是整数，$m$ 与 $r$ 互素，$r>0$．求 $m+n+r$． 2022-04-17 20:09:04
20911 5c78e954210b28428f14cfa1 高中 解答题 自招竞赛 每个正整数 $k$ 有唯一的“阶乘表示法”表示为 $\left( {{f}_{1}} {{f}_{2}} \cdots {{f}_{m}} \right)$，这些 ${{f}_{i}}$ 满足
$k=1!\cdot {{f}_{1}}+2!\cdot {{f}_{2}}+\cdots +m!\cdot {{f}_{m}}$，
且每个 ${{f}_{i}}$ 都是整数，$0\leqslant {{f}_{i}}\leqslant i$，$0\leqslant {{f}_{m}}$．已知 $\left( {{f}_{1}} {{f}_{2}} \cdots {{f}_{j}} \right)$ 是
$16!-32!+48!-64!+\cdots +1968!-1984!+2000!$
的阶乘表示法的表示方式．求 ${{f}_{1}}-{{f}_{2}}+{{f}_{3}}-{{f}_{4}}+\cdots +{{\left( -1 \right)}^{j-1}}{{f}_{j}}$．		 2022-04-17 20:08:04
20910 5c6f9625210b280150527457 高中 解答题 自招竞赛 求所有可以被其十位数字与个位数字整除的两位数之和． 2022-04-17 20:08:04
20909 5c6f962e210b28015052745c 高中 解答题 自招竞赛 由一些不同实数组成的有限集 $S$ 满足如下性质：$S\bigcup \left\{ 1 \right\}$ 中所有元素的平均数比 $S$ 中所有元素的平均数小13，$S\bigcup \left\{ 2001 \right\}$ 中所有元素的平均数比 $S$ 中所有元素的平均数大27，求 $S$ 中所有元素的平均数． 2022-04-17 20:07:04
20908 5c6f9638210b280151d74a67 高中 解答题 自招竞赛 求出方程 ${{x}^{2001}}+{{\left( \frac{1}{2}-x \right)}^{2001}}=0$ 的所有根之和，包括实根与虚根，假定方程没有重根． 2022-04-17 20:07:04
20907 5c6f9644210b280151d74a6c 高中 解答题 自招竞赛 在 $\vartriangle ABC$ 中，$\angle A=60{}^\circ $，$\angle B=45{}^\circ $．$\angle A$ 的角平分线交 $BC$ 于点 $T$，且 $AT=24$．$\vartriangle ABC$ 的面积可以写成 $a+b\sqrt{c}$，其中 $a$，$b$，$c$ 都是正整数，且 $c$ 不能被任何素数的平方整除．求 $a+b+c$． 2022-04-17 20:06:04
20906 5c6f9660210b280151d74a77 高中 解答题 自招竞赛 掷骰子四次，后三次每次的点数都不比其前一次的点数小的概率可以表示为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数．求 $m+n$． 2022-04-17 20:06:04
20905 5c6f966b210b280151d74a7c 高中 解答题 自招竞赛 在 $\vartriangle ABC$ 中，$AB=21$，$AC=22$，$BC=20$．点 $D$ 和点 $E$ 分别在边 $AB$ 与 $AC$ 上，使得 $DE$ 平行于 $BC$ 且 $DE$ 通过 $\vartriangle ABC$ 的内心．设 $DE=\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数．求 $m+n$． 2022-04-17 20:05:04
20904 5c6f9673210b280150527464 高中 解答题 自招竞赛 如果把一个十进制数 $N$ 写成七进制，再用十进制读出来，其结果是 $N$ 的2倍，就把 $N$ 叫做7-10双倍数．例如，51是7-10双倍数，因为它写成七进制时为102，在十进制下读出来的结果恰为 $51$ 的2倍．求最大的7-10双倍数． 2022-04-17 20:05:04
20903 5c6f9684210b28015052746e 高中 解答题 自招竞赛 设 $S$ 为空间中坐标 $x$，$y$，$z$ 都是整数且满足 $0\leqslant x\leqslant 2$，$0\leqslant y\leqslant 3$，$0\leqslant z\leqslant 4$ 的所有点组成的点集．从 $S$ 中随机抽取两个不同点，设二者的中点仍在 $S$ 中的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数．求 $m+n$． 2022-04-17 20:04:04
20902 5c6f968c210b280150527473 高中 解答题 自招竞赛 将 $5\times N$ 点阵中的所有点从左到右、从上到下依次编号（如第一行的序号是从1到 $N$，第二行的序号是从 $N+1$ 到 $2N$，等等）．从第 $i$ 行中任意抽取一点 ${{P}_{i}}$，这样我们选择了5个点 ${{P}_{1}}$，${{P}_{2}}$，${{P}_{3}}$，${{P}_{4}}$ 和 ${{P}_{5}}$．设 ${{P}_{i}}$ 对应数 ${{x}_{i}}$．现在从第一列开始重新对点进行从左到右的编号，这时设 ${{P}_{i}}$ 对应数是 ${{y}_{i}}$．我们发现恰有 ${{x}_{1}}={{y}_{2}}$，${{x}_{2}}={{y}_{1}}$，${{x}_{3}}={{y}_{4}}$，${{x}_{4}}={{y}_{5}}$，${{x}_{5}}={{y}_{3}}$．求 $N$ 的最小可能值． 2022-04-17 20:04:04
20901 5c6f9699210b280151d74a85 高中 解答题 自招竞赛 一个球内切于顶点分别是 $A=\left( 6 ,0, 0 \right)$，$\left( x ,y ,z \right)=\left( 6-t ,8-t, 8-t \right)$，$C=\left( 0, 0 ,2 \right)$ 和 $D=\left( 0, 0, 0 \right)$ 的四面体．球的半径是 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$L=\left( 0 ,2 ,2 \right)$ 是互素的正整数．求 $m+n$． 2022-04-17 20:03:04
20900 5c6f96a5210b280150527479 高中 解答题 自招竞赛 在某个特定的圆中，角度为 $d$ 的弧对应的弦长是 $22\operatorname{cm}$，角度为 $2d$ 的弧对应的弦长比角度为 $3d$ 的弧对应的弦长大 $20\operatorname{cm}$，其中 $d<120$．角度为 $3d$ 的弧对应的弦长可以表示为 $-m+\sqrt{n}\operatorname{cm}$，其中 $12\sqrt{6}$，$n$ 是正整数．求 $LOM$． 2022-04-17 20:03:04
20899 5c6f96af210b280151d74a8c 高中 解答题 自招竞赛 邮递员要给街道上的19间房子送邮件．他发现在同一天中，没有两间相邻的房子都收到邮件，且连续三间房子中至少有一间会收到邮件．求有多少种可能投递邮件的情况？ 2022-04-17 20:03:04
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