设 $\left( {{x}_{1}} {{y}_{1}} \right)$，$\left( {{x}_{2}} {{y}_{2}} \right)$ 是方程组 $\left\{ \begin{align}
& {{\log }_{225}}x+{{\log }_{64}}y=4 \\
& {{\log }_{x}}225+{{\log }_{y}}64=1. \\
\end{align} \right.$ 的解．求 ${{\log }_{30}}\left( {{x}_{1}}{{y}_{1}}{{x}_{2}}{{y}_{2}} \right)$ 的值．
& {{\log }_{225}}x+{{\log }_{64}}y=4 \\
& {{\log }_{x}}225+{{\log }_{y}}64=1. \\
\end{align} \right.$ 的解．求 ${{\log }_{30}}\left( {{x}_{1}}{{y}_{1}}{{x}_{2}}{{y}_{2}} \right)$ 的值．
【难度】
【出处】
2002年第20届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
12
【解析】
设 $p={{\log }_{225}}x=\frac{1}{{{\log }_{x}}225}$，$q={{\log}_{64}}y=\frac{1}{{{\log }_{y}}64}$．那么题中的方程可化为 $p+q=4$，$\frac{1}{p}-\frac{1}{q}=1$，解得 $\left({{p}_{1}} {{q}_{1}} \right)=\left( 3+\sqrt{5} 1-\sqrt{5} \right)$，$\left({{p}_{2}} {{q}_{2}} \right)=\left( 3-\sqrt{5} 1+\sqrt{5} \right)$．
因此 ${{x}_{1}}{{x}_{2}}={{225}^{{{p}_{1}}}}{{225}^{{{p}_{2}}}}={{225}^{{{p}_{1}}+{{p}_{2}}}}={{225}^{6}}$，${{y}_{1}}{{y}_{2}}={{64}^{{{q}_{1}}+{{q}^{2}}}}={{64}^{2}}$，所以
${{\log}_{30}}\left( {{x}_{1}}{{y}_{1}}{{x}_{2}}{{y}_{2}} \right)={{\log }_{30}}\left({{225}^{6}}{{64}^{2}} \right)=\log 30\left( {{15}^{12}}{{2}^{12}}\right)={{\log }_{30}}{{30}^{12}}=12$．
因此 ${{x}_{1}}{{x}_{2}}={{225}^{{{p}_{1}}}}{{225}^{{{p}_{2}}}}={{225}^{{{p}_{1}}+{{p}_{2}}}}={{225}^{6}}$，${{y}_{1}}{{y}_{2}}={{64}^{{{q}_{1}}+{{q}^{2}}}}={{64}^{2}}$，所以
${{\log}_{30}}\left( {{x}_{1}}{{y}_{1}}{{x}_{2}}{{y}_{2}} \right)={{\log }_{30}}\left({{225}^{6}}{{64}^{2}} \right)=\log 30\left( {{15}^{12}}{{2}^{12}}\right)={{\log }_{30}}{{30}^{12}}=12$．
答案
解析
备注
