对于所有满足 $z\ne \text{i}$ 的复数 $z$ 都有 $F\left( z \right)=\frac{z+\text{i}}{z-\text{i}}$．对于所有正整数 $n$ 有 ${{z}_{n}}=F\left( {{z}_{n-1}} \right)$．若 ${{z}_{0}}=\frac{1}{137}+\text{i}$，${{z}_{2002}}=a+b\text{i}$，其中 $a$，$b$ 为实数．求 $a+b$ 的值．
【难度】
【出处】
2002年第20届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
275
【解析】
计算：
$F\left(F\left( z \right)\right)=\frac{\frac{z+\text{i}}{z-\text{i}}+\text{i}}{\frac{z+\text{i}}{z-\text{i}}-\text{i}}=\frac{z+\text{i}+\text{i}z+1}{z+\text{i}-\text{i}z-1}=\frac{1+\text{i}}{1-\text{i}}\cdot\frac{z+1}{z-1}=\text{i}\cdot \frac{z+1}{z-1}$，
$F\left(F\left( F\left( z \right) \right) \right)=F\left( \text{i}\cdot \frac{z+1}{z-1}\right)=\frac{\text{i}\cdot \frac{z+\text{i}}{z-\text{i}}+\text{i}}{\text{i}\cdot\frac{z+\text{i}}{z-\text{i}}-\text{i}}=\frac{z+1+z-1}{z+1-\left( z-1\right)}=z$．
综合以上两式，推出 ${{z}_{n}}={{z}_{n-3}}$，$n\geqslant 3$．特别地
${{z}_{2002}}={{z}_{2002-667\cdot3}}={{z}_{1}}=\frac{\frac{1}{137}+2\text{i}}{\frac{1}{137}}=1+\frac{2}{\frac{1}{137}}\text{i}=1+274\text{i}$，
故 $a+b=275$．
$F\left(F\left( z \right)\right)=\frac{\frac{z+\text{i}}{z-\text{i}}+\text{i}}{\frac{z+\text{i}}{z-\text{i}}-\text{i}}=\frac{z+\text{i}+\text{i}z+1}{z+\text{i}-\text{i}z-1}=\frac{1+\text{i}}{1-\text{i}}\cdot\frac{z+1}{z-1}=\text{i}\cdot \frac{z+1}{z-1}$，
$F\left(F\left( F\left( z \right) \right) \right)=F\left( \text{i}\cdot \frac{z+1}{z-1}\right)=\frac{\text{i}\cdot \frac{z+\text{i}}{z-\text{i}}+\text{i}}{\text{i}\cdot\frac{z+\text{i}}{z-\text{i}}-\text{i}}=\frac{z+1+z-1}{z+1-\left( z-1\right)}=z$．
综合以上两式，推出 ${{z}_{n}}={{z}_{n-3}}$，$n\geqslant 3$．特别地
${{z}_{2002}}={{z}_{2002-667\cdot3}}={{z}_{1}}=\frac{\frac{1}{137}+2\text{i}}{\frac{1}{137}}=1+\frac{2}{\frac{1}{137}}\text{i}=1+274\text{i}$，
故 $a+b=275$．
答案
解析
备注
