11．设 $ABCD$，$BCFG$ 为正方体的两个面，$AB=12$．一束光从点 $A$ 射出，反射在面 $BCFG$ 上点 $P$ 处，其中 $P$ 到 $BG$，$BC$ 边的距离分别是7，5．光线继续反射到立方体的其他面上，在从点 $A$ 处离开直到下一次反射到正方体的某个顶点上的时间内，光线经过的路程长为 $m\sqrt{n}$，其中 $m$，$n$ 均为整数，$n$ 不能被任何素数的平均整除．求 $m+n$ 的值．
【难度】
【出处】
2002年第20届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
230
【解析】
在正方体上建立坐标系，使得 $A=\left( 0,0,0 \right)$，$B=\left( 12,0,0 \right)$，$C=\left( 12,12,0 \right)$，$D=\left( 0,12,0 \right)$，则 $P=\left( 12,7,5 \right)$．点 $P$ 为这束光射到正方体面上的第一点，设 ${{P}_{2}}$ 为这束光射到正方体面的第二点，考虑立方体在面 $BCFG$ 上的投影．${{P}_{2}}$ 为射线 $AP$ 与下一个正方体的交点，继续这个过程直到由第 $k$ 个立方体面上包含点 ${{P}_{k}}$ 得到第 $k+1$ 个立方体，$k\geqslant 2$．因此射线 $AP$ 和面的交点，满足方程 $x=12n$，$y=12n$ 或 $z=12n$，$n$ 是正整数，恰与这束光射在面上的点一致．因此这束光第一次回到正方体的下一个顶点时，射线 $AP$ 到达一点，这点的坐标都是12的倍数．射线 $AP$ 上的点的坐标形如 $\left(12t 7t 5t \right)$，其中 $t$ 为非负数，那么它们均为12的倍数当且仅当 $t$ 也是12的倍数．则第一次回到顶点处是 $t=12$ 时，点的坐标为 $\left(144,84,60 \right)$．要求的这一段距离等于这点到点 $A$ 间的距离：$12\sqrt{{{12}^{2}}+{{7}^{2}}+{{5}^{2}}}=12\sqrt{218}$，因此 $m+n=230$．
答案
解析
备注
