由不同的正整数组成的集合 $S$ 满足以下性质：对于 $S$ 中任意整数 $x$，$S$ 去掉 $x$ 后剩下元素的平均数为整数．若 $1\in S$，2002是 $S$ 中最大元素，那么 $S$ 中最多有多少个元素？
【难度】
【出处】
2002年第20届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
30
【解析】
设 ${{x}_{1}}$，${{x}_{2}}$，${{x}_{3}}$，…，${{x}_{n}}$ 为集合 $S$ 中的元素，${{S}_{j}}=\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+\cdots+{{x}_{n}}-{{x}_{j}}}{n-1}$．
题目中已知 ${{S}_{j}}$ 为整数，且 $j$ 是 $1\sim n$ 的任意整数．注意到，对于任意 $1\tilde{ }n$ 的整数 $i$，$j$，有
${{S}_{i}}-{{S}_{j}}=\frac{{{x}_{j}}-{{x}_{i}}}{n-1}$
也是整数．因此 ${{x}_{j}}=\left({{S}_{i}}-{{S}_{j}} \right)\left( n-1 \right)+{{x}_{i}}$，当 ${{x}_{i}}=1$ 时，推出集合 $S$ 中的超过 $n-1$ 的倍数个元素都等于1．即 ${{\left( n-1 \right)}^{2}}+1\leqslant 2002$，$n\leqslant 45$．因为 $n-1$ 是 $2002-1$ 的因数，推出 $n=2$ 或 $n=4$ 或 $n=24$ 或 $n=30$，因此 $n=30$ 是最大值．事实上，若 ${{x}_{j}}=29j-28$，$1\leqslant j\le29$，${{x}_{30}}=2002$，则这样的 $30$ 元集 $S$ 满足题目条件，故所求为 $30$．
题目中已知 ${{S}_{j}}$ 为整数，且 $j$ 是 $1\sim n$ 的任意整数．注意到，对于任意 $1\tilde{ }n$ 的整数 $i$，$j$，有
${{S}_{i}}-{{S}_{j}}=\frac{{{x}_{j}}-{{x}_{i}}}{n-1}$
也是整数．因此 ${{x}_{j}}=\left({{S}_{i}}-{{S}_{j}} \right)\left( n-1 \right)+{{x}_{i}}$，当 ${{x}_{i}}=1$ 时，推出集合 $S$ 中的超过 $n-1$ 的倍数个元素都等于1．即 ${{\left( n-1 \right)}^{2}}+1\leqslant 2002$，$n\leqslant 45$．因为 $n-1$ 是 $2002-1$ 的因数，推出 $n=2$ 或 $n=4$ 或 $n=24$ 或 $n=30$，因此 $n=30$ 是最大值．事实上，若 ${{x}_{j}}=29j-28$，$1\leqslant j\le29$，${{x}_{30}}=2002$，则这样的 $30$ 元集 $S$ 满足题目条件，故所求为 $30$．
答案
解析
备注
