对于所有正整数 $k$，恒有 ${{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+\cdots +{{k}^{2}}=\frac{k\left( k+1 \right)\left( 2k+1 \right)}{6}$．
试求最小正整数 $k$，使得 ${{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+\cdots +{{k}^{2}}$ 是200的倍数．
试求最小正整数 $k$，使得 ${{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+\cdots +{{k}^{2}}$ 是200的倍数．
【难度】
【出处】
2002年第20届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
112
【解析】
要使平方和等于200的倍数，当且仅当 $k\left(k+1 \right)\left( 2k+1 \right)=6\cdot 200N={{2}^{4}}\cdot 3\cdot {{5}^{2}}N$，$N$ 为正整数．因为 $2k+1$ 是奇数，$k$ 和 $k+1$ 不可能都是偶数，那么 $k$ 或 $k+1$ 是16的倍数．注意到无论 $k$ 取何值，$k\left(k+1 \right)\left( 2k+1 \right)$ 恒为3的倍数，因此我们只需代入 $k=15$，16，31，32，…，逐一检验 $k\left(k+1 \right)\left( 2k+1 \right)$ 能否被25整除，发现 $k=112$ 是符合题意的最小整数，故所求为112．
答案
解析
备注
