二项展开式的幂可以不是整数．对于任意实数 $x$，$y$，$r$，若 $\left| x \right|>\left| y \right|$，则有
${{\left( x+y \right)}^{r}}={{x}^{r}}+r{{x}^{r-1}}y+\frac{r\left( r-1 \right)}{2!}{{x}^{r-2}}{{y}^{2}}+\frac{r\left( r-1 \right)\left( r-2 \right)}{3!}{{x}^{r-3}}{{y}^{3}}+\cdots $．
求 ${{\left( {{10}^{2002}}+1 \right)}^{\frac{10}{7}}}$ 小数点的后三位数是多少？
${{\left( x+y \right)}^{r}}={{x}^{r}}+r{{x}^{r-1}}y+\frac{r\left( r-1 \right)}{2!}{{x}^{r-2}}{{y}^{2}}+\frac{r\left( r-1 \right)\left( r-2 \right)}{3!}{{x}^{r-3}}{{y}^{3}}+\cdots $．
求 ${{\left( {{10}^{2002}}+1 \right)}^{\frac{10}{7}}}$ 小数点的后三位数是多少？
【难度】
【出处】
2002年第20届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
428
【解析】
利用二项式展开式，得到
${{\left({{10}^{2002}}+1 \right)}^{\frac{10}{7}}}={{10}^{2860}}+\frac{10}{7}\cdot{{10}^{3\cdot 286}}+\frac{\frac{10}{7}\cdot \frac{3}{7}}{2}\cdot {{10}^{-4\cdot286}}+\cdots $．
由此可知，题中所求与第二项有关，因为 $\frac{1}{7}=\overline{0.142857}$，6是 $3\cdot 286$ 的因数，推出：
$\frac{10}{7}\cdot {{10}^{3\cdot 286}}=1428571\cdots 571$．$\overline{428571}$．
因此，小数点后三位数字是428．
${{\left({{10}^{2002}}+1 \right)}^{\frac{10}{7}}}={{10}^{2860}}+\frac{10}{7}\cdot{{10}^{3\cdot 286}}+\frac{\frac{10}{7}\cdot \frac{3}{7}}{2}\cdot {{10}^{-4\cdot286}}+\cdots $．
由此可知，题中所求与第二项有关，因为 $\frac{1}{7}=\overline{0.142857}$，6是 $3\cdot 286$ 的因数，推出：
$\frac{10}{7}\cdot {{10}^{3\cdot 286}}=1428571\cdots 571$．$\overline{428571}$．
因此，小数点后三位数字是428．
答案
解析
备注
