如图所示，在直角三角形 $ABC$ 中，点 $D$ 在 $BC$ 边上，线段 $AD$ 平分 $\angle CAB$，点 $E$ 和点 $F$ 分别在 $AB$ 边和 $AC$ 边上，且 $AE=3$，$AF=10$．给定 $EB=9$，$FC=27$，求最接近四边形 $DCFG$ 面积的整数．
【难度】
【出处】
2002年第20届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
148
【解析】
由角平分线定理，$BD:DC=AB:AC=12:37$，因此 $\vartriangle ADC$ 的面积等于 $\vartriangle ABC$ 的 $\frac{37}{49}$；由角平分线定理，$EG:GF=AE:AF=3:10$，因此 $\vartriangle AGF$ 的面积只等于 $\vartriangle AEF$ 的 $\frac{10}{13}$．$\vartriangle AGF$ 的面积是 $\vartriangle AFB$ 的 $\frac{3}{12}$，而 $\vartriangle AFB$ 的面积等于 $\vartriangle ABC$ 的 $\frac{10}{37}$．因为 $BC=\sqrt{{{37}^{2}}-{{12}^{2}}}=35$，因此 $\vartriangle ABC$ 的面积等于210．推出四边形 $DCFG$ 面积等于
$\left(\frac{37}{49}-\frac{10}{13}\cdot \frac{3}{12}\cdot \frac{10}{37}\right)210=\frac{1110}{7}-\frac{5250}{481}=158\frac{4}{7}-10\frac{440}{481}$，
因此所求的数为148．
$\left(\frac{37}{49}-\frac{10}{13}\cdot \frac{3}{12}\cdot \frac{10}{37}\right)210=\frac{1110}{7}-\frac{5250}{481}=158\frac{4}{7}-10\frac{440}{481}$，
因此所求的数为148．
答案
解析
备注
