一位教授心不在焉地计算某个角的正弦值，他没有注意到，计算器在使用前并没有设定正确的角度制，但他还是幸运地得到正确解．已知使得 $x$ 度的正弦值等于 $x$ 弧度的正弦值的正实数 $x$ 的两个最小值分别为 $\frac{m\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{n-\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}$，$\frac{p\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{q+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}$，其中 $m$，$n$，$p$，$q$ 均为正整数．试求 $m+n+p+q$ 的值．
【难度】
【出处】
2002年第20届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
900
【解析】
因为 $x$ 的弧度等于 $\frac{180x}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}$ 度，题中 $x$ 的特殊值满足 $\sin x{}^\circ =\sin \frac{180x{}^\circ }{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}$．
由正弦函数的性质可以得出 $\frac{180x}{\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}=x+360j$，或 $180-\frac{180x}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}=x-360k$，
$j$，$k$ 为整数．因此推出 $x=\frac{360j\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{180-\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}$ 或 $x=\frac{180\left(2k+1 \right)\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{180+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}$，即正实数 $x$ 的两个最小值等于 $\frac{360\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{180-\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}$ 和 $\frac{180\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{180+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}$，所以 $m+n+p+q=900$．
由正弦函数的性质可以得出 $\frac{180x}{\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}=x+360j$，或 $180-\frac{180x}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}=x-360k$，
$j$，$k$ 为整数．因此推出 $x=\frac{360j\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{180-\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}$ 或 $x=\frac{180\left(2k+1 \right)\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{180+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}$，即正实数 $x$ 的两个最小值等于 $\frac{360\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{180-\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}$ 和 $\frac{180\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{180+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}$，所以 $m+n+p+q=900$．
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