求最小的整数 $k$，使得至少有两个数列满足下列条件：
（1）${{a}_{1}}$，${{a}_{2}}$，${{a}_{3}}$，…是不减的正整数数列；
（2）${{a}_{n}}={{a}_{n-1}}+{{a}_{n-2}}$，$n>2$；
（3）${{a}_{9}}=k$．
（1）${{a}_{1}}$，${{a}_{2}}$，${{a}_{3}}$，…是不减的正整数数列；
（2）${{a}_{n}}={{a}_{n-1}}+{{a}_{n-2}}$，$n>2$；
（3）${{a}_{9}}=k$．
【难度】
【出处】
2002年第20届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
748
【解析】
假设 ${{a}_{1}}={{x}_{i}}$，${{a}_{2}}={{x}_{i}}+{{h}_{i}}$，$i=1 2$，且 ${{x}_{2}}>{{x}_{1}}>0$，${{h}_{1}}>{{h}_{2}}\ge0$，因此
${{a}_{9}}=34{{x}_{1}}+21{{h}_{1}}=k=34{{x}_{2}}+21{{h}_{2}}$．
若 ${{h}_{2}}$ 大于0，那么 $k$ 没有最小值使得方程 $34x+21h=k$ 无唯一解，因为 $34{{x}_{1}}+21{{h}_{1}}=34{{x}_{2}}$ 将会产生更小的 $k$，因此 $34{{x}_{1}}+21{{h}_{1}}=34{{x}_{2}}$，即 $21{{h}_{1}}=34\left({{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)$．
因为 ${{h}_{1}}$ 一定是34的倍数，${{x}_{2}}$，${{x}_{1}}$ 的差是21的倍数．${{x}_{2}}$，${{x}_{1}}$，${{h}_{1}}$，${{h}_{2}}$，${{a}_{9}}$ 可能的最小取值满足以上条件，推出 ${{h}_{1}}=34$，${{h}_{2}}=0$，${{x}_{1}}=1$，${{x}_{2}}=22$，${{a}_{9}}=34\cdot 22+21\cdot 0=748$．注意到数列中：
$1,35,36,71,108,178,285,463,748,$ $\cdots $ $,$
$22,22,44,66,110,176,286,462,748,$ $\cdots$ $,$
两个数列的第九项都是 $748$．
${{a}_{9}}=34{{x}_{1}}+21{{h}_{1}}=k=34{{x}_{2}}+21{{h}_{2}}$．
若 ${{h}_{2}}$ 大于0，那么 $k$ 没有最小值使得方程 $34x+21h=k$ 无唯一解，因为 $34{{x}_{1}}+21{{h}_{1}}=34{{x}_{2}}$ 将会产生更小的 $k$，因此 $34{{x}_{1}}+21{{h}_{1}}=34{{x}_{2}}$，即 $21{{h}_{1}}=34\left({{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)$．
因为 ${{h}_{1}}$ 一定是34的倍数，${{x}_{2}}$，${{x}_{1}}$ 的差是21的倍数．${{x}_{2}}$，${{x}_{1}}$，${{h}_{1}}$，${{h}_{2}}$，${{a}_{9}}$ 可能的最小取值满足以上条件，推出 ${{h}_{1}}=34$，${{h}_{2}}=0$，${{x}_{1}}=1$，${{x}_{2}}=22$，${{a}_{9}}=34\cdot 22+21\cdot 0=748$．注意到数列中：
$1,35,36,71,108,178,285,463,748,$ $\cdots $ $,$
$22,22,44,66,110,176,286,462,748,$ $\cdots$ $,$
两个数列的第九项都是 $748$．
答案
解析
备注
