哈罗德、坦尼亚和尤利西斯给一条长栅栏涂漆．哈罗德从第一根开始徐漆，每隔 $h$ 根栅栏涂一个；坦尼亚从第二根开始涂漆，每隔 $t$ 根栅栏涂一个；尤利西斯从第三根开始涂漆，每隔 $u$ 根栅栏涂一个．若正整数数组 $\left( h ,t, u \right)$ 使得每根栅栏恰被涂一次漆，则称 $100h+10t+u$ 为可上漆数．求所有的可上漆数之和．
【难度】
【出处】
2002年第20届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
757
【解析】
将栅栏按顺序标号1，2，3，…．设 $H$，$T$，$U$ 分别为三人涂漆的栅栏数．那么
$H=\left\{1,1+h,1+2h,1+3h,\cdots \right\}$，
$T=\left\{2,2+t,2+2t,2+3t,\cdots \right\}$，
$U=\left\{3,3+u,3+2u,3+3u,\cdots \right\}$．
每根栅栏恰被涂一次漆当且仅当 $H$，$T$，$U$ 将正整数集分为互斥的子集．显然，$h$，$t$，$u$ 都大于1．实际上，$h\geqslant 3$，因为 $h=2$ 时，那么3在 $H$ 中．同样，$h<5$，若 $h\geqslant 5$，那么4则不在 $H$ 中，而4不在 $U$ 中，那么4一定在 $T$ 中，得到 $T=\left\{2,4,6,\cdots \right\}$，又因为5不在 $H$ 中，那么得到 $U=\left\{ 3,5,7,\cdots \right\}$，但这样的话，$h$ 不存在．因此 $h=3$ 或4．当 $h=3$ 时，$H=\left\{ 1,4,7,\cdots \right\}$．因为7在 $H$ 中，则5不在 $U$ 中，因此5在 $T$ 中，$T=\left\{ 2,5,8,\cdots \right\}$，则 $U=\left\{ 3,6,9 \cdots \right\}$．当 $h=4$ 时，$H=\left\{1,5,9,\cdots \right\}$，因为4不在 $U$ 中，则 $T=\left\{ 2,4,6,\cdots \right\}$，$U=\left\{ 3,7, 11 \cdots \right\}$．则两个可上漆数为 $333$ 和 $424$，和为 $757$．
$H=\left\{1,1+h,1+2h,1+3h,\cdots \right\}$，
$T=\left\{2,2+t,2+2t,2+3t,\cdots \right\}$，
$U=\left\{3,3+u,3+2u,3+3u,\cdots \right\}$．
每根栅栏恰被涂一次漆当且仅当 $H$，$T$，$U$ 将正整数集分为互斥的子集．显然，$h$，$t$，$u$ 都大于1．实际上，$h\geqslant 3$，因为 $h=2$ 时，那么3在 $H$ 中．同样，$h<5$，若 $h\geqslant 5$，那么4则不在 $H$ 中，而4不在 $U$ 中，那么4一定在 $T$ 中，得到 $T=\left\{2,4,6,\cdots \right\}$，又因为5不在 $H$ 中，那么得到 $U=\left\{ 3,5,7,\cdots \right\}$，但这样的话，$h$ 不存在．因此 $h=3$ 或4．当 $h=3$ 时，$H=\left\{ 1,4,7,\cdots \right\}$．因为7在 $H$ 中，则5不在 $U$ 中，因此5在 $T$ 中，$T=\left\{ 2,5,8,\cdots \right\}$，则 $U=\left\{ 3,6,9 \cdots \right\}$．当 $h=4$ 时，$H=\left\{1,5,9,\cdots \right\}$，因为4不在 $U$ 中，则 $T=\left\{ 2,4,6,\cdots \right\}$，$U=\left\{ 3,7, 11 \cdots \right\}$．则两个可上漆数为 $333$ 和 $424$，和为 $757$．
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