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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20818 5c74d5ed210b28428f14cbb2 高中 解答题 自招竞赛 圆中的一条弦与此圆的某一半径垂直，并过此半径的中点。这条弦将此圆分成两个区域，大区域与小区域面积之比为 $\frac{a\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+b\sqrt{c}}{d\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-e\sqrt{f}}$，其中 $a b c d e f$ 均为正整数，$a$ 与 $e$ 互素，$e$ 与 $f$ 均不能被任何素数的平方所整除。试求乘积 $abcdef$ 除以 $1000$ 的余数。 2022-04-17 20:19:03
20817 5c74d5f6210b28428f14cbb7 高中 解答题 自招竞赛 一个陶罐中有 $10$ 颗红色的糖果及 $10$ 颗蓝色的糖果。泰瑞先任取两颗糖果，接着玛丽在剩余的糖果中任取两颗，若不考虑所拿出糖果的先后顺序，两人所拿出糖果颜色组合相同的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m n$ 为互素的正整数，试求 $m+n$ 的值。 2022-04-17 20:18:03
20816 5c74d602210b284290fc236b 高中 解答题 自招竞赛 一个长方体是由 $N$ 个体积为 $\text{1c}{{\text{m}}^{\text{3}}}$ 的正立方体面与面叠合粘在一起所形成的。设可以看到此长方体有共同点的三个面，且恰有 $231$ 个体积为 $\text{1c}{{\text{m}}^{\text{3}}}$ 的正立方体不能被看到。试求 $N$ 的最小可能值。 2022-04-17 20:17:03
20815 5c74d608210b284290fc2371 高中 解答题 自招竞赛 试问：有多少个由不超过两个不同的数字组成的小于 $10000$ 的正整数？ 2022-04-17 20:16:03
20814 5c74d610210b284290fc2377 高中 解答题 自招竞赛 为了完成一件大工程，雇请了 $1000$ 位工人，原计划恰可依照预定时间完成此工程。这 $1000$ 位工人一起工作，依照计划时间完成了前 $\frac{1}{4}$ 的工程，接着解雇了 $100$ 位工人后才继续做第二个 $\frac{1}{4}$ 的工程。然后做第三个 $\frac{1}{4}$ 工程之前又解雇了 $100$ 位工人，所以完成第三个 $\frac{1}{4}$ 的工程时，工程进度更为落后。假设每位工人的工作能力都一样，试问在完成了全部工程的第三个 $\frac{1}{4}$ 之后，除了现有的 $800$ 位工人外，在最后 $\frac{1}{4}$ 的工程至少应增加多少位工人，才能使得整个工程在最初预定的时间内或提前完成？ 2022-04-17 20:15:03
20813 5c74d617210b284290fc237d 高中 解答题 自招竞赛 三只聪明的猴子分一堆香蕉，第一只猴子从这堆香蕉中取出一些，自己留下所取出香蕉的 $\frac{3}{4}$，并将所取出香蕉中剩下的平分给另外两只猴子。第二只猴子从剩余的香蕉中取出一些，自己留下所取出香蕉的 $\frac{1}{4}$，并将所取出的香蕉中剩下的平分给另外两只猴子。第三只猴子从剩余的香蕉中取出一些，自己留下所取出香蕉的 $\frac{1}{12}$，并将所取出香蕉剩下的平分给另外两只猴子。这三只猴子在完成这三次分香蕉的过程后，它们各得香蕉的总数比为 $3:2:1$ 。试问：这堆香蕉的总数至少是多少？ 2022-04-17 20:14:03
20812 5c74d61e210b28428f14cbbd 高中 解答题 自招竞赛 如图22-3所示，将一张长方形纸 $ABCD$ 中顶点为 $B$ 的一角折起来，使得顶点 $B$ 与 $AD$ 边上的点 ${B}'$ 重合。设折痕为 $EF$，其中 $E$ 点在 $AB$ 边上，$F$ 点在 $CD$ 边上．已知：$AE=8$，$BE=17$，$CF=3$，长方形 $ABCD$ 的周长为 $\frac{m}{n}$，其中 $m n$ 为互素的正整数，试求 $m+n$ 的值。 2022-04-17 20:14:03
20811 5c74d630210b28428f14cbc2 高中 解答题 自招竞赛 试问：在 ${{2004}^{2004}}$ 的所有正因数中，有多少个数恰可被 $2004$ 个正整数整除？ 2022-04-17 20:14:03
20810 5c74d639210b28428f14cbc7 高中 解答题 自招竞赛 正数数列 $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ 满足 ${{a}_{1}}=1$ 及 ${{a}_{9}}+{{a}_{10}}=646$ 。对所有的整数 $k\geqslant 1$，${{a}_{2k-1}} {{a}_{2k}} {{a}_{2k+1}}$ 成等比数列，${{a}_{2k}} {{a}_{2k+1}} {{a}_{2k+2}}$ 成等差数列。设 ${{a}_{n}}$ 为此数列中小于 $1000$ 的最大项，试求 $n+{{a}_{n}}$ 的值。 2022-04-17 20:13:03
20809 5c74d640210b284290fc2385 高中 解答题 自招竞赛 设 $S$ 为所有介于 $1$ 与 ${{2}^{40}}$ 之间，且二进制表示式中恰有两个 $1$，其余为 $0$ 的整数组成的集合。从 $S$ 中随机取出一个数，设这个数被 $9$ 整除的概率为 $\frac{p}{q}$，其中 $p q$ 是互素的正整数。试求 $p+q$ 的值。 2022-04-17 20:12:03
20808 5c74d64d210b284290fc238c 高中 解答题 自招竞赛 设 $ABCD$ 为等腰梯形，$AB=6 BC=DA=5 CD=4$ 。分别以 $A$ 和 $B$ 为圆心，$3$ 为半径各画一个圆；再以 $C$ 和 $D$ 为圆心，$2$ 为半径各画一个圆。在梯形内部有一个圆，它与上述的四个圆都相切。此圆的半径为 $\frac{-k+m\sqrt{n}}{p}$，其中 $k m n p$ 均为正整数，$n$ 不能被任何素数的平方整除，$k$ 和 $p$ 互素。试求 $k+m+n+p$ 的值。 2022-04-17 20:12:03
20807 5c74d654210b28428f14cbd3 高中 解答题 自招竞赛 设 $ABCDE$ 为一个凸五边形，其中 $AB$ ∥ $CE$，$BC$ ∥ $AD$，$AC$ ∥ $DE$，$\angle ABC={{120}^{\circ }}$，$AB=3$，$BC=5 DE=15$ 。已知 $\vartriangle ABC$ 的面积与 $\vartriangle EBD$ 面积之比为 $\frac{m}{n}$，其中 $m n$ 为互素的正整数，试求 $m+n$ 的值。 2022-04-17 20:12:03
20806 5c74d65b210b28428f14cbd8 高中 解答题 自招竞赛 考虑一串 $n$ 个 $7$：$\underbrace{777\ldots 77}_{n7}$，在这些 $7$ 当中插入加号“+”，形成一个算式。例如 $7+77+777+7+7=875$，即是在八个 $7$ 中插入“+”运算后而得。试问有多少个这样的 $n$，可在 $n$ 个 $7$ 中插入“+”，使运算后的值为 $7000$？ 2022-04-17 20:12:03
20805 5c74d662210b284290fc2392 高中 解答题 自招竞赛 有一张长 $1024$ 单位、宽 $1$ 单位的细长纸条，现要将其分成 $1024$ 个单位正方形，具体做法是将这张纸条重复对折。第一次对折时，将这张纸的右边边缘叠合在左边边缘的上面，使其成为长 $521$ 单位、宽 $1$ 单位的纸条，厚度为最初纸条的两倍。第二次对折时，也将这张纸的右边边缘叠合在左边边缘的上面，使其成为长 $256$ 单位、宽 $1$ 单位的纸条，其厚度为最初纸条的四倍。如此再重复对折 $8$ 次。对折 $10$ 次后这张细长纸条已变成厚度为最初纸条 $1024$ 倍的单位正方形。试问在原来从左边数起第 $942$ 个单位正方形的下面现在有多少个单位正方形？ 2022-04-17 20:11:03
20804 5c74dd7a210b28428f14cbec 高中 解答题 自招竞赛 六个全等的圆组成一个环，其中每个圆与相邻的两个圆与相邻的两个圆相外切。这六个圆又内切于半径为30的圆 $\omega $，用 $K$ 表示位于圆 $\omega $ 内除去这六个小圆外剩余部分的面积，求 $\left[ K \right]$（$\left[ K \right]$ 表示不超过 $K$ 的最大整数）。 2022-04-17 20:10:03
20803 5c74dd82210b28428f14cbf2 高中 解答题 自招竞赛 对每个正整数 $k$，用 ${{S}_{k}}$ 表示首项为1公差为 $k$ 的等差数列，例如，${{S}_{3}}$ 为1，4，7，…，问：有多少个 $k$ 值使得2005在 ${{S}_{k}}$ 中？ 2022-04-17 20:10:03
20802 5c74dd92210b284290fc239e 高中 解答题 自招竞赛 正整数 $N$ 只有三个真因子，且每个真因子都小于50。问这样的 $N$ 一共有多少个（$N$ 的所有真因子就是除 $N$ 本身外的其他因子）？ 2022-04-17 20:09:03
20801 5c74dd9b210b284290fc23a3 高中 解答题 自招竞赛 一支军队的首领想把这一队人编成一个方阵，并且要求方阵中没有空缺位置。如果这队人排成一个正方形方阵，则剩下5个人不能排进去；如果他们排成一个长方形方阵，且每一行比每一列多7人，则刚好可以排完，问这一队人最多有多少人？ 2022-04-17 20:09:03
20800 5c74dda4210b28428f14cbf9 高中 解答题 自招竞赛 $\text{Rnbert}$ 有4个相同的金币和4个相同的银币，每个硬币有且只有一面刻有头像。他想把这8个硬币在桌子上叠成一堆，并且要求相邻的两个硬币有头像的面不能相对（即头像不可以靠在一起）。问一共有多少种不同的叠法？ 2022-04-17 20:08:03
20799 5c74ddbd210b284290fc23b4 高中 解答题 自招竞赛 方程 ${{2}^{333x-2}}+{{2}^{111x+2}}={{2}^{222x+1}}+1$ 有3个实根，它们的和为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是两个互素的正整数，求 $m+n$ 。 2022-04-17 20:08:03
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