多面体 $ABCDEFG$ 有六个面，其中 $ABCD$ 是正方形，$AB=12$；$ABFG$ 为梯形，$AB\parallel GF$，$BF=AG=8$，$GF=6$；面 $CDE$ 中 $CE=DE=14$．另三个面分别是 $ADEG$，$BCEF$，$EFG$．点 $E$ 到 $ABCD$ 所在面的距离为12．给定 $E{{G}^{2}}=p-q\sqrt{r}$，其中 $p$，$q$，$r$ 均为正整数，$r$ 不能被任意素数的平方整除．求 $p+q+r$ 的值．
【难度】
【出处】
2002年第20届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
163
【解析】
建立坐标系，使得正方形 $ABCD$ 在 $xy$ 平面，如图所示．设 $E=\left( {{x}_{1}} {{y}_{1}} 12 \right)$．因为 $DE=CE$，则 ${{x}_{1}}=6$．因为 $DE=14$，所以 ${{14}^{2}}={{6}^{2}}+{{\left({{y}_{1}} \right)}^{2}}+{{12}^{2}}$，算出 ${{y}_{1}}=4$．设 $GK$ 为等腰梯形 $ABFG$ 的高，注意到 $G$，$K$ 的 $x$ 坐标都等于 $\frac{1}{2}\left(AB-GF \right)=3$．为了求出 $G$ 点的另两个坐标，设 $ax+by+cz=d$ 是由 $A$，$D$，$E$ 三点构成的平面方程．代入三点的坐标，分别得到 $12b=d$，$0=d$，$6a+4b+12c=d$，解得 $b=d=0$，$a+2c=0$．因此点 $G=\left( 3 {{y}_{2}} {{z}_{2}} \right)$ 落在 $z=2x$ 的平面上，故 ${{z}_{2}}=6$．由 $GA=8$ 得 ${{8}^{2}}={{3}^{2}}+{{\left({{y}_{2}}-12 \right)}^{2}}+{{6}^{2}}$，故 ${{y}_{2}}=12\pm\sqrt{19}$．即
$E{{G}^{2}}={{\left(6-3 \right)}^{2}}+{{\left( 4-\left( 12\pm \sqrt{19} \right) \right)}^{2}}+{{\left(12-6 \right)}^{2}}=128\pm 16\sqrt{19}$．
因此 $p+q+r=163$．
$E{{G}^{2}}={{\left(6-3 \right)}^{2}}+{{\left( 4-\left( 12\pm \sqrt{19} \right) \right)}^{2}}+{{\left(12-6 \right)}^{2}}=128\pm 16\sqrt{19}$．
因此 $p+q+r=163$．
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