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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
25778 597e81ccd05b900009165089 高中 解答题 高中习题 已知圆 $C_1:x^2+y^2+2x-6y+1=0$ 和圆 $C_2:x^2+y^2-4x+2y-11=0$，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长； 2022-04-17 20:01:49
25777 598bbe4581aa6e000bb966f4 高中 解答题 自招竞赛 （$20$ 分）已知直线 $l:y=\sqrt 3x+4$，动圆 $O:x^2+y^2=r^2(1<r<2)$，菱形 $ABCD$ 的一个内角为 $60^\circ$，顶点 $A$、$B$ 在直线 $l$ 上，顶点 $C$、$D$ 在圆 $O$ 上．当 $r$ 变化时，求菱形 $ABCD$ 的面积 $S$ 的取值范围． 2022-04-17 20:01:49
25776 598bbe4581aa6e000bb966f7 高中 解答题 自招竞赛 （$30$ 分）设 $a$、$b$、$c$ 为正实数，且满足 $abc=1$．对任意整数 $n \geqslant 2$，证明：\[\dfrac a{\sqrt[n]{b+c}}+\dfrac b{\sqrt[n]{c+a}}+\dfrac c{\sqrt[n]{a+b}}\geqslant \dfrac 3{\sqrt[n]{2}}.\] 2022-04-17 20:00:49
25775 598bbe4581aa6e000bb966f5 高中 解答题 自招竞赛 （$20$ 分）如图，圆 $O_1$ 与圆 $O_2$ 相交于 $P$、$Q$ 两点，圆 $O_1$ 的弦 $PA$ 与圆 $O_2$ 相切，圆 $O_2$ 的弦 $PB$ 与圆 $O_1$ 相切，直线 $PQ$ 与 $\triangle PAB$ 的外接圆 $O$ 交于另一点 $R$．求证：$PQ=QR$． 2022-04-17 20:59:48
25774 597e833ed05b90000addb26f 高中 解答题 高中习题 证明：如果整系数二次方程 $a{x^2} + bx + c = 0$ 存在有理根，那么 $a , b , c$ 三个数中至少有一个是偶数． 2022-04-17 20:59:48
25773 597e8387d05b90000c80571e 高中 解答题 自招竞赛 是否存在四个正实数，使其两两乘积为 $2,3,5,6,10,16$？ 2022-04-17 20:58:48
25772 597e83dbd05b9000091650a3 高中 解答题 高中习题 设函数 $f(x)=\ln (x+1)+a\left( x^2-x\right) $，其中 $a\in\mathbb R$．若 $\forall x>0,f(x)\geqslant 0$ 成立，求 $a$ 的取值范围． 2022-04-17 20:57:48
25771 597e83e6d05b9000091650a6 高中 解答题 高中习题 等腰梯形 $ABCD$ 中，$AD\parallel BC$，$AB = CD$，$ABCD$ 的内切圆与腰 $CD$ 切于点 $M$，$AM,BM$ 分别与内切圆交于点 $P,T$，求 $\dfrac{{AM}}{{AP}} + \dfrac{{BM}}{{BT}}$． 2022-04-17 20:56:48
25770 597e8423d05b9000091650a9 高中 解答题 高中习题 是否存在正整数 $m$ 和 $n$，使得 ${\left( {5 + 3\sqrt 2 } \right)^m} = {\left( {3 + 5\sqrt 2 } \right)^n}$． 2022-04-17 20:56:48
25769 597e855ad05b90000c805735 高中 解答题 高中习题 已知不等式 $2x\ln x<(1-k)(x^2-1)$ 对任意 $x>1$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围． 2022-04-17 20:56:48
25768 597e85bcd05b90000addb281 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)=\dfrac{\ln (x+1)}{{\rm e}^x-1}+ax$．是否存在实数 $a$，使得 $f(x)>1$ 恒成立，请证明你的结论． 2022-04-17 20:56:48
25767 597e86a7d05b90000c805745 高中 解答题 高考真题 已知函数 $f(x)=x\cos{x}-\sin{x},x\in \left[0,\dfrac{\pi}{2} \right]$． 2022-04-17 20:55:48
25766 5985e71b5ed01a0008fa5e86 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，$\angle CAD = \angle BAD = \angle ABD = \angle BCD$，求证：$\triangle ABC$ 的三边长成等比数列． 2022-04-17 20:55:48
25765 597e8814d05b90000c805753 高中 解答题 高中习题 证明：若 $m$ 是任一正整数，则 $a_m=\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots +\dfrac 1{2^m}$ 不是整数． 2022-04-17 20:55:48
25764 597e8818d05b90000b5e3082 高中 解答题 高中习题 利用光路最短原理（费马原理），证明折射定律． 2022-04-17 20:55:48
25763 597e88bdd05b90000b5e3088 高中 解答题 高中习题 求正整数集合 $S$（元素个数不少于 $2$），使 $S$ 中的元素之和等于元素之积． 2022-04-17 20:54:48
25762 597e8ab9d05b9000091650d2 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)=x+a\ln x,a \in \mathbb{R}$． 2022-04-17 20:53:48
25761 597e8bb1d05b90000b5e3091 高中 解答题 高中习题 已知 $A=\left\{x\mid x=n!+n\right\}$，$B$ 是 $A$ 在正整数集 $\mathbb N^*$ 上的补集． 2022-04-17 20:53:48
25760 597e8bfad05b90000c805763 高中 解答题 高中习题 求证：$\dfrac{\ln 2}{2^4}+\dfrac{\ln 3}{3^4}+\cdots +\dfrac{\ln n}{n^4}<\dfrac{1}{4{\rm e}}$． 2022-04-17 20:52:48
25759 598bd19981aa6e000a489997 高中 解答题 高中习题 求证：$\dfrac{\ln 2}{2^4}+\dfrac{\ln 3}{3^4}+\cdots +\dfrac{\ln n}{n^4}<\dfrac{1}{4{\rm e}}$． 2022-04-17 20:51:48
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