已知函数 $f(x)=x+a\ln x,a \in \mathbb{R}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求函数 $f(x)$ 的单调区间；标注答案当 $a\geqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(0,+\infty)$．
当 $a<0$ 时，函数 $f(x)$ 的单调递减区间为 $(0,-a)$，单调递增区间为 $(-a,+\infty)$解析因为$$f'(x)=1+\dfrac ax,$$所以当 $a\geqslant 0$ 时，$f'(x)>0$ 恒成立，故 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(0,+\infty)$．
当 $a<0$ 时，若 $0<x<-a$，则 $f'(x)<0$；若 $x>-a$，则 $f'(x)>0$，故 $f(x)$ 的单调递减区间为 $(0,-a)$，单调递增区间为 $(-a,+\infty)$． -
当 $x\in [1,2]$ 时，都有 $f(x)>0$ 成立，求 $a$ 的取值范围；标注答案$a>-\dfrac{2}{\ln 2} $解析当 $x\in [1,2]$ 时，$f(x)>0$ 恒成立等价于$$a>max\left\{-\dfrac{x}{\ln x}\right\},$$解得 $a>-\dfrac{2}{\ln 2} $．
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试问过点 $P(1,3)$ 存在多少条直线与曲线 $y=f(x)$ 相切？并说明理由．标注答案当 $a>0$ 时，$2$ 条；当 $a\leqslant 0$ 时，不存在满足条件的直线解析设切点坐标为 $\left(t,t+a\ln{t}\right)$．
若切线过点 $P(1,3)$，则$$a \left(\ln{t}+\dfrac{1}{t}-1 \right)=2. $$令 $g(t)=\ln{t}+\dfrac{1}{t}-1,t>0$，易知 $g(t) \geqslant g(1)=0$．情形一 若 $a \leqslant 0$，则关于 $t$ 的方程$$a \left(\ln{t}+\dfrac{1}{t}-1 \right)=2$$在 $\left(0,+\infty\right)$ 上显然无解．情形二 若 $a > 0$，则 $\dfrac{2}{a}\in \left(0,+\infty\right) $，此时关于 $t$ 的方程$$\ln{t}+\dfrac{1}{t}-1=\dfrac{2}{a}$$在 $\left(0,+\infty\right)$ 上有 $2$ 个不同的解．
证明如下．
当 $t=1$ 时，关于 $t$ 的方程 $\ln{t}+\dfrac{1}{t}-1=\dfrac{2}{a} $ 显然无解．
当 $0<t<1$ 时，$g(t)=\ln{t}+\dfrac{1}{t}-1$ 单调递减．
因为$$g(1)=0<\dfrac{2}{a},$$利用 $\mathrm{e} ^x \geqslant \mathrm{e} x$ 可得$$\begin{split}g\left(\mathrm{e} ^{-\frac{a+3}{a\left(\mathrm{e} -1\right) } }\right)&=-\dfrac{a+3}{a\left(\mathrm{e} -1\right) }+\mathrm{e} ^{\frac{a+3}{a\left(\mathrm{e} -1\right) } }-1\\&\geqslant -\dfrac{a+3}{a\left(\mathrm{e} -1\right) }+\mathrm{e} \cdot\dfrac{a+3}{a\left(\mathrm{e} -1\right) } -1\\&=\dfrac{3}{a} >\dfrac{2}{a},\end{split}$$所以关于 $t$ 的方程 $\ln{t}+\dfrac{1}{t}-1=\dfrac{2}{a} $ 在 $\left(0,1\right)$ 上有唯一解．情形三 当 $t>1$ 时，$g(t)=\ln{t}+\dfrac{1}{t}-1$ 单调递增．
因为$$g(1)=0<\dfrac{2}{a},g\left(\mathrm{e} ^{\frac{2}{a}+1 }\right)=\dfrac{2}{a} +\dfrac{a}{a+2}>\dfrac{2}{a} , $$所以关于 $t$ 的方程 $\ln{t}+\dfrac{1}{t}-1=\dfrac{2}{a} $ 在 $\left(1,+\infty\right)$ 上有唯一解．
综上所述，当 $a>0$ 时，过点 $P(1,3)$ 有 $2$ 条直线与曲线 $y=f(x)$ 相切；当 $a\leqslant 0$ 时，过点 $P(1,3)$ 不存在直线与曲线 $y=f(x)$ 相切．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
