已知函数 $f(x)=\dfrac{\ln (x+1)}{{\rm e}^x-1}+ax$．是否存在实数 $a$，使得 $f(x)>1$ 恒成立，请证明你的结论．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
利用第III类端点分析，可得 $a\geqslant 1$．
取 $a=1$ 可以证明函数$$\varphi(x)=\ln (x+1)+{\rm e}^x\left(x-1\right)-x+1$$的导函数 $\varphi'(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 上恒为正值，于是不等式恒成立．
因此存在实数 $a$，使得 $f(x)>1$ 恒成立．
取 $a=1$ 可以证明函数$$\varphi(x)=\ln (x+1)+{\rm e}^x\left(x-1\right)-x+1$$的导函数 $\varphi'(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 上恒为正值，于是不等式恒成立．
因此存在实数 $a$，使得 $f(x)>1$ 恒成立．
答案
解析
备注
