如图所示，$\angle CAD = \angle BAD = \angle ABD = \angle BCD$，求证：$\triangle ABC$ 的三边长成等比数列．
【难度】
【出处】
2011年北京大学保送生试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
设题中相等的四个角均为 $\alpha$，$\angle CBD=\beta$，$\angle ACD=\gamma$，则根据角元塞瓦定理，有$$\dfrac{\sin\alpha}{\sin\alpha}\cdot \dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}\cdot \dfrac{\sin\alpha}{\sin\gamma}=1,$$于是$$\sin^2\alpha=\sin\beta\cdot\sin\gamma.$$接下来我们证明 $BC^2=AC\cdot AB$．
考虑到 $4\alpha+\beta+\gamma=\pi$，于是\[\begin{split} \sin^22\alpha-\sin (\alpha+\gamma)\cdot \sin (\alpha+\beta)
&=\dfrac{1-\cos 4\alpha}2+\dfrac 12\left[\cos (2\alpha+\beta+\gamma)-\cos (\gamma-\beta)\right]\\
&=\dfrac{1+\cos(\beta+\gamma)}2+\dfrac 12\left[-\cos 2\alpha-\cos (\gamma-\beta)\right]\\
&=\dfrac {1-\cos 2\alpha}2+\dfrac 12\left[\cos (\beta+\gamma)-\cos (\gamma-\beta)\right]\\
&=\sin^2\alpha-\sin\beta\cdot\sin\gamma\\
&=0,\end{split} \]因此原命题得证．
考虑到 $4\alpha+\beta+\gamma=\pi$，于是\[\begin{split} \sin^22\alpha-\sin (\alpha+\gamma)\cdot \sin (\alpha+\beta)
&=\dfrac{1-\cos 4\alpha}2+\dfrac 12\left[\cos (2\alpha+\beta+\gamma)-\cos (\gamma-\beta)\right]\\
&=\dfrac{1+\cos(\beta+\gamma)}2+\dfrac 12\left[-\cos 2\alpha-\cos (\gamma-\beta)\right]\\
&=\dfrac {1-\cos 2\alpha}2+\dfrac 12\left[\cos (\beta+\gamma)-\cos (\gamma-\beta)\right]\\
&=\sin^2\alpha-\sin\beta\cdot\sin\gamma\\
&=0,\end{split} \]因此原命题得证．
答案
解析
备注
