设函数 $f(x)=\ln (x+1)+a\left( x^2-x\right) $，其中 $a\in\mathbb R$．若 $\forall x>0,f(x)\geqslant 0$ 成立，求 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$[0,1]$
【解析】
从端点 $x=0$ 来看，$f(0)=0$．
从端点 $x=+\infty$ 看，$a\geqslant 0$．
因为 $f(x)$ 的导函数为$$f'(x)=\dfrac{1}{x+1}-a(2x-1),$$所以有$$f'(0)=1-a\geqslant 0,$$于是 $a\leqslant 1$，这样就得到了分界点 $0,1$．最终可以得到 $a$ 的取值范围是 $[0,1]$．
从端点 $x=+\infty$ 看，$a\geqslant 0$．
因为 $f(x)$ 的导函数为$$f'(x)=\dfrac{1}{x+1}-a(2x-1),$$所以有$$f'(0)=1-a\geqslant 0,$$于是 $a\leqslant 1$，这样就得到了分界点 $0,1$．最终可以得到 $a$ 的取值范围是 $[0,1]$．
答案
解析
备注
