（$20$ 分）已知直线 $l:y=\sqrt 3x+4$，动圆 $O:x^2+y^2=r^2(1<r<2)$，菱形 $ABCD$ 的一个内角为 $60^\circ$，顶点 $A$、$B$ 在直线 $l$ 上，顶点 $C$、$D$ 在圆 $O$ 上．当 $r$ 变化时，求菱形 $ABCD$ 的面积 $S$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛陕西省预赛（二试）
【标注】
【答案】
因为菱形 $ABCD$ 有一个内角为 $60^\circ$，所以 $\triangle ACD$ 或 $\triangle BCD$ 为等边三角形，不妨设 $\triangle ACD$ 为等边三角形，如图所示．因为圆心 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $2>r$，所以直线 $l$ 与圆 $O$ 相离．
设直线 $CD$ 的方程为 $y=\sqrt 3x+b$，则直线 $l$ 与 $CD$ 的距离为 $d=\dfrac{|b-4|}2$．
又圆心 $O$ 到直线 $CD$ 的距离为 $\dfrac{|b|}2$，所以 $|CD|=2\sqrt{r^2-\left(\dfrac{|b|}2\right)^2}=\sqrt{4r^2-b^2}$．
由 $d=\dfrac {\sqrt 3}2|CD|$，得\[\dfrac{|b-4|}2=\dfrac {\sqrt 3}2\sqrt{4r^2-b^2}.\]化简得 $b^2-2b+4=3r^2$．
因为 $1<r<2$，所以 $3<b^2-2b+4<12$．
解得 $-2<b<1$，或 $1<r<4$．
又\[\begin{split}S&=2S_{\triangle ACD}=2\times\dfrac{\sqrt 3}4|CD|^2\\&=2\times \dfrac{\sqrt 3}4\times \left(\dfrac 2 {\sqrt 3}\right)^2d^2\\&=\dfrac{\sqrt 3}6(b-4)^2.\end{split}\]因为函数 $S=\dfrac{\sqrt 3}6(b-4)^2$ 在 $(-2,1)$ 和 $(1,4)$ 上分别单调递减，所以菱形 $ABCD$ 的面积 $S$ 的取值范围为 $\left(0,\dfrac 3 2\sqrt 3\right)\cup \left(\dfrac 3 2\sqrt 3,6\sqrt 3\right)$．
设直线 $CD$ 的方程为 $y=\sqrt 3x+b$，则直线 $l$ 与 $CD$ 的距离为 $d=\dfrac{|b-4|}2$．
又圆心 $O$ 到直线 $CD$ 的距离为 $\dfrac{|b|}2$，所以 $|CD|=2\sqrt{r^2-\left(\dfrac{|b|}2\right)^2}=\sqrt{4r^2-b^2}$．
由 $d=\dfrac {\sqrt 3}2|CD|$，得\[\dfrac{|b-4|}2=\dfrac {\sqrt 3}2\sqrt{4r^2-b^2}.\]化简得 $b^2-2b+4=3r^2$．
因为 $1<r<2$，所以 $3<b^2-2b+4<12$．
解得 $-2<b<1$，或 $1<r<4$．
又\[\begin{split}S&=2S_{\triangle ACD}=2\times\dfrac{\sqrt 3}4|CD|^2\\&=2\times \dfrac{\sqrt 3}4\times \left(\dfrac 2 {\sqrt 3}\right)^2d^2\\&=\dfrac{\sqrt 3}6(b-4)^2.\end{split}\]因为函数 $S=\dfrac{\sqrt 3}6(b-4)^2$ 在 $(-2,1)$ 和 $(1,4)$ 上分别单调递减，所以菱形 $ABCD$ 的面积 $S$ 的取值范围为 $\left(0,\dfrac 3 2\sqrt 3\right)\cup \left(\dfrac 3 2\sqrt 3,6\sqrt 3\right)$．
【解析】
无
答案
解析
备注
