题目 已知 $A=\left\{x\mid x=n!+n\right\}$，$B$ 是 $A$ 在正整数集 $\mathbb N^*$ 上的补集． 问题1 求证：无法从 $B$ 中取出无限个数组成等差数列； 答案1 略 解析1 若能从 $B$ 中取出无限个数组成等差数列 $\left\{ {{a_m}} \right\}$，并设公差为 $d$，则$${a_m} = {a_1} + \left( {n - 1} \right)d,$$而 $n > d$ 时，有$$n! + n,\left( {n + 1} \right)! + \left( {n + 1} \right),\cdots ,$$被 $d$ 除所得余数分别与$$n,\left( {n + 1} \right),\left( {n + 2} \right),\cdots ,$$被 $d$ 除的相同．<br/>因为这些余数应该是逐一递增的，取得 $d - 1$ 后，又以周期性出现，所以存在 ${n_0}$，使 ${n_0}! + {n_0}$ 被 $d$ 除与 ${a_m}$ 被 $d$ 除的余数相同，这就说明 ${n_0}! + {n_0}$ 是等差数列 $\left\{ {{a_m}} \right\}$ 中的项．<br/>又因为 ${n_0}! + {n_0} \in A$，故 ${n_0}! + {n_0} \notin B$，于是矛盾就产生了，故假设不成立，因此要证明的结论成立． 备注1 问题2 能否从 $B$ 中取出无限个数组成等比数列？ 答案2 能 解析2 能从 $B$ 中取出无限个数组成等比数列，例如 ${b_m} = {5^m}$．<br/>由于$$n! + n = n\left[ {\left( {n - 1} \right)! + 1} \right],$$并且当 $n > 5$ 时，$5$ 不能整除 $\left( {n - 1} \right)! + 1$，故 ${5^m} \notin A$，因此 ${5^m} \in B$，故数列 $\left\{ {{b_m}} \right\}$ 是从 $B$ 中取出无限个数组成的等比数列． 备注2