证明：如果整系数二次方程 $a{x^2} + bx + c = 0$ 存在有理根，那么 $a , b , c$ 三个数中至少有一个是偶数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
用反证法，假设 $a , b , c$ 都是奇数．
原方程存在有理根，于是 ${b^2} - 4ac$ 是完全平方数．
设 ${b^2} - 4ac = {m^2}$，则显然 $m$ 为奇数．
由于当 $b , m$ 均为奇数时，$$8\mid \left( {{b^2} - {m^2}} \right).$$设$${b^2} - {m^2} = {\left( {2{k_1} + 1} \right)^2} - {\left( {2{k_2} + 1} \right)^2} = 4\left( {{k_1} + {k_2} + 1} \right)\left( {{k_1} - {k_2}} \right),$$而 ${k_1} + {k_2} + 1$ 与 ${k_1} - {k_2}$ 为一奇一偶矛盾，因此原命题得证．
原方程存在有理根，于是 ${b^2} - 4ac$ 是完全平方数．
设 ${b^2} - 4ac = {m^2}$，则显然 $m$ 为奇数．
由于当 $b , m$ 均为奇数时，$$8\mid \left( {{b^2} - {m^2}} \right).$$设$${b^2} - {m^2} = {\left( {2{k_1} + 1} \right)^2} - {\left( {2{k_2} + 1} \right)^2} = 4\left( {{k_1} + {k_2} + 1} \right)\left( {{k_1} - {k_2}} \right),$$而 ${k_1} + {k_2} + 1$ 与 ${k_1} - {k_2}$ 为一奇一偶矛盾，因此原命题得证．
答案
解析
备注
