求证：$\dfrac{\ln 2}{2^4}+\dfrac{\ln 3}{3^4}+\cdots +\dfrac{\ln n}{n^4}<\dfrac{1}{4{\rm e}}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
当 $k\geqslant 2$ 时，裂项$$\dfrac{\ln k}{k^4}<\dfrac 19\left[\dfrac{3\ln \left(k-\dfrac 12\right)+1}{\left(k-\dfrac 12\right)^3}-\dfrac{3\ln\left(k+\dfrac 12\right)+1}{\left(k+\dfrac 12\right)^3}\right],$$于是$$LHS<\dfrac{\ln 2}{16}+\dfrac{\ln 3}{81}+\dfrac{8\left(1+3\ln \dfrac 72\right)}{3087}\approx 0.069216<\dfrac {1}{4\rm e}.$$
答案
解析
备注
