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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
25738 5982ce8765a6ba00070eee5f 高中 解答题 自招竞赛 已知抛物线 $C$ 的顶点在原点，焦点坐标为 $F(2,0)$，点 $P$ 的坐标为 $(m,0)$（$m\ne 0$）． 2022-04-17 20:41:48
25737 598c1ed6de229f0008daf63f 高中 解答题 自招竞赛 $\triangle ABC$ 中，$M$、$N$ 分别是边 $AB$、$AC$ 上的点，且满足 $\dfrac {BM}{MA} + \dfrac{CN}{NA}=1$．证明：线段 $MN$ 经过 $\triangle ABC$ 的重心． 2022-04-17 20:41:48
25736 598c1ed6de229f0008daf640 高中 解答题 自招竞赛 已知在正整数 $n$ 的各位数字中，共含有 $a_1$ 个 $1, a_2$ 个 $2, \cdots, a_9$ 个 $9$；证明：$2^{a_1}\cdot3^{a_2} \cdot4^{a_3}\cdot \cdots \cdot 10^{a_9} \leqslant n+1,$ 并请确定使等号成立的条件． 2022-04-17 20:40:48
25735 598426145ed01a000ba75a5d 高中 解答题 自招竞赛 设数列 $\dfrac 11,\dfrac 12,\dfrac 21,\dfrac 13,\dfrac 22,\dfrac 31,\cdots ,\dfrac 1k,\dfrac{2}{k-1},\cdots ,\dfrac k1,\cdots$．问： 2022-04-17 20:40:48
25734 598426145ed01a000ba75a5f 高中 解答题 高中习题 已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1$（$a>1$），$\mathrm{Rt}\triangle{ABC}$ 以 $A(0,1)$ 为直角顶点，边 $AB,BC$ 与椭圆交于两点 $B,C$．若 $\triangle{ABC}$ 面积的最大值为 $\dfrac{27}{8}$，求 $a$ 的值． 2022-04-17 20:39:48
25733 59706197dbbeff000aeab805 高中 解答题 高中习题 在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，且 $2a=b+c$．$O,I$ 分别为 $\triangle ABC$ 的外心和内心，求证：$OI\perp AI$． 2022-04-17 20:39:48
25732 5909808b39f91d0008f05012 高中 解答题 高中习题 已知锐角 $\triangle ABC$ 中，$\angle B=60^\circ$，$P$ 为 $AB$ 中点，$Q$ 为外接圆上弧 $AC$（不包含点 $B$）的中点，$H$ 为 $\triangle ABC$ 的垂心．如果 $P,H,Q$ 三点共线，求 $\angle A$． 2022-04-17 20:38:48
25731 59084c99060a05000a4a98da 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n^2}$，求证：$a_{2015}>18$． 2022-04-17 20:37:48
25730 597e7ae2d05b90000b5e303c 高中 解答题 高中习题 已知 $M$ 为圆 $A:(x-2)^2+(y-2)^2=1$ 上一点．点 $M$ 关于点 $E(2,0)$ 的对称点为 $P$，点 $M$ 绕 $A$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ 得到点 $Q$，求线段 $PQ$ 长度的取值范围． 2022-04-17 20:37:48
25729 59093613060a050008cff431 高中 解答题 高中习题 解不等式：$\sqrt{x^2+4x+8}-\sqrt{x^2-4x+8}\geqslant 2$． 2022-04-17 20:36:48
25728 597e8176d05b90000addb250 高中 解答题 高中习题 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，设 $\triangle ABC$ 的顶点分别为 $A(0,a)$，$B(b,0)$，$C(c,0)$，点 $P(0,p)$ 在线段 $AO$ 上（异于端点）．设 $a,b,c,p$ 为非零常数，设直线 $BP,CP$ 分别与边 $AC,AB$ 交于点 $E,F$，求证：$\angle EOA=\angle FOA$． 2022-04-17 20:36:48
25727 597ec274d05b90000addb3e3 高中 解答题 高中习题 数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_{n+1}=3a_n-3a_n^2$，$n=1,2,3,\cdots$． 2022-04-17 20:35:48
25726 596336903cafba0007613226 高中 解答题 高中习题 数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=1$，$a_n=\dfrac {1}{a_{n+1}}-\dfrac 12$． 2022-04-17 20:35:48
25725 597e989cd05b900009165186 高中 解答题 自招竞赛 设 $A,B,C,D,X$ 为圆周上依次排列的五个点，已知 $\angle AXB = \angle BXC = \angle CXD$，$AX = a$，$BX = b$，$CX = c$，求 $DX$ 的长． 2022-04-17 20:34:48
25724 590ae4706cddca0008610f81 高中 解答题 高中习题 设 $A,B,C,D,X$ 为圆周上依次排列的五个点，已知 $\angle AXB = \angle BXC = \angle CXD$，$AX = a$，$BX = b$，$CX = c$，求 $DX$ 的长． 2022-04-17 20:33:48
25723 597016e2dbbeff0009d29e5e 高中 解答题 高中习题 设正实数 $a,b$ 满足 $a+b=1$，求证：$\sqrt{a^2+\dfrac1a}+\sqrt{b^2+\dfrac1b}\geqslant3$． 2022-04-17 20:33:48
25722 59642c11cbc472000a68b530 高中 解答题 自招竞赛 设点 $O$ 为椭圆的中心，点 $A$ 为椭圆上异于顶点的任意一点，过点 $A$ 作长轴的垂线，垂足为 $M$，连接 $AO$ 并延长交椭圆于另一点 $B$，连接 $BM$ 并延长交椭圆于点 $C$，问是否存在椭圆，使得 $BA\perp CA$？ 2022-04-17 20:33:48
25721 597e9ba6d05b90000c80581b 高中 解答题 高中习题 已知椭圆 $\dfrac {x^2}{4}+\dfrac {y^2}{3}=1$，点 $P(4,0)$，过点 $P$ 作椭圆的割线 $PAB$，$C$ 为 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点．求证：直线 $AC$ 恒过定点． 2022-04-17 20:32:48
25720 597e9a91d05b90000c805813 高中 解答题 高中习题 已知过点 $P\left(1,\dfrac 14\right)$ 的直线 $l_1,l_2$ 分别与椭圆 $\dfrac{x^2}4+y^2=1$ 相交于点 $A,C$ 与 $B,D$，且 $\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{BP}=2\overrightarrow{PD}$，求直线 $AB$ 的方程． 2022-04-17 20:32:48
25719 59116f0be020e7000878f5e4 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 满足 $a_1=1$，$b_1=2$，$a_{n+1}b_n=a_nb_n+2a_n+4$． 2022-04-17 20:31:48
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