已知不等式 $2x\ln x<(1-k)(x^2-1)$ 对任意 $x>1$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(-\infty,0\right]$
【解析】
令 $f(x)=a\left(x-\dfrac 1x\right)-\ln x$，其中 $a=\dfrac{1-k}2$．
$f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\dfrac{ax^2-x+a}{x^2}.$$又因为 $f(1)=0$，当 $x\to +\infty$ 时，可得 $a>0$．
令 $g(x)=ax^2-x+a$，则$$g(1)=2a-1,$$从而可得分界点 $0,\dfrac 12$．
情形一 $a\leqslant 0$．
此时$$f(x)<-\ln x<0$$不符合题意．
情形二 $0<a<\dfrac 12$．
此时在区间 $\left(1,\dfrac{1+\sqrt{1-4a^2}}{2a}\right)$ 上有 $g(x)<0$，因此 $f(x)$ 单调递减，结合 $f(1)=0$，不符合题意．
情形三 $a\geqslant \dfrac 12$．
此时 $g(x)$ 的判别式$$\Delta=1-4a^2<0,$$因此 $g(x)>0$，$f(x)$ 单调递增．结合 $f(1)=0$，符合题意．
综上所述，$a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 12,+\infty\right)$，于是 $k$ 的取值范围是 $\left(-\infty,0\right]$．
$f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\dfrac{ax^2-x+a}{x^2}.$$又因为 $f(1)=0$，当 $x\to +\infty$ 时，可得 $a>0$．
令 $g(x)=ax^2-x+a$，则$$g(1)=2a-1,$$从而可得分界点 $0,\dfrac 12$．
此时$$f(x)<-\ln x<0$$不符合题意．
此时在区间 $\left(1,\dfrac{1+\sqrt{1-4a^2}}{2a}\right)$ 上有 $g(x)<0$，因此 $f(x)$ 单调递减，结合 $f(1)=0$，不符合题意．
此时 $g(x)$ 的判别式$$\Delta=1-4a^2<0,$$因此 $g(x)>0$，$f(x)$ 单调递增．结合 $f(1)=0$，符合题意．
综上所述，$a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 12,+\infty\right)$，于是 $k$ 的取值范围是 $\left(-\infty,0\right]$．
答案
解析
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